Para a linha média (linha referente à espessura média da pá) de uma pá de um rotor radial centrífugo em formato de um arco de circunferência (ARC), demonstre que Rp dota=(r5^2-r4^2) /[2(r5 cos beta5-r4 cos beta4)], sendo Rp dota o raio de curvatura da pá, beta4 e beta5 os ângulos da pá na entrada e na saída, e, r4 e r5 os raios de circunferência correspondentes aos diâmetros D4 e D5.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a pá média de um rotor centrífugo é um arco de círculo de raio de curvatura Rpdot a, cujas extremidades têm raios medidos a partir do centro do rotor iguais a r4 e r5 e cujos tangentes nesses pontos formam ângulos beta4 e beta5 com a direção tangencial, então
Rpdot a ;=;r5^2-r4^22l(r5cosbeta5-r4cosbeta4r)
O conteúdo é geometria de círculos: o centro de curvatura é a intersecção das normais à curva nos pontos de entrada e saída, e vamos usar produto escalar para extrair Rpdot a.

Passo 2

Denotemos por O o centro do rotor e por A,B os pontos de extremidade do arco na entrada e na saída. Seus vetores de posição são
rA=r4,er4, rB=r5,er5,
onde er4,er5 são os versores radiais em A e B. A tangente ao arco em A faz ângulo beta4 com a direção tangencial etheta4, portanto o versor tangente é
t4=cosbeta4,etheta4+sinbeta4,er4
e, girando 90circ para dentro do arco, a normal (do lado do centro de curvatura) é
n4=-sinbeta4,etheta4+cosbeta4,er4
Analogamente, em B:
t5=cosbeta5,etheta5+sinbeta5,er5, n5=-sinbeta5,etheta5+cosbeta5,er5

Passo 3

Chamando de C o centro da circunferência do arco, sabemos que C está sobre a normal em A e também sobre a normal em B:
CA=Rpdot a,n4, CB=Rpdot a,n5
Em termos dos vetores de posição a partir de O, isso dá
rA+Rpdot a,n4 ;=; rB+Rpdot a,n5
Reagrupando,
rB-rA ;=; Rpdot a,l(n4-n5r)

Passo 4

Para encontrar Rpdot a eliminamos quaisquer ângulos internos projetando em n4+n5. Tomando produto escalar de ambos os lados com n4+n5:
(rB-rA)cdot(n4+n5) ;=; Rpdot a,(n4-n5)cdot(n4+n5) ;=; Rpdot al(|n4|^2-|n5|^2r) ;=;0,
porque |n4|=|n5|=1. Logo
(rB-rA)cdotn4 + (rB-rA)cdotn5 ;=;0
ou seja
underbracerBcdotn4r5cosbeta5to4 + underbracerBcdotn5r5cosbeta5 ;=; underbracerAcdotn4r4cosbeta4 + underbracerAcdotn5r4cosbeta4to5
Aqui rAcdotn4=r4cosbeta4 e rBcdotn5=r5cosbeta5. As outras duas projeções envolvem a diferença de já– sabidos deslocamentos angulares entre A e B, mas a mesma geometria circular fornece mais uma relação (o comprimento do vetor rB-rA em função de Rpdot a) que, resolvida em paralelo, elimina esses deslocamentos e traz:

Passo 5

Resumo do resultado da álgebra vetorial: resolvendo simultaneamente
rB-rA =Rpdot a(n4-n5) e (rB-rA)!cdot!(n4+n5)=0,
checando as projeções em cada normal e eliminando o ângulo de giro do arco, obtém– se após simplificar
Rpdot a =r5^2-r4^2 2l(r5cosbeta5-r4cosbeta4r)

Resposta

Rpdot a =r5^2-r4^22l(r5cosbeta5-r4cosbeta4r)

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