Para a linha média (linha referente à espessura média da pá) de uma pá de um rotor radial centrífugo em formato de um arco de circunferência (ARC), demonstre que , sendo o raio de curvatura da pá, e os ângulos da pá na entrada e na saída, e, e os raios de circunferência correspondentes aos diâmetros e .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a pá média de um rotor centrífugo é um arco de círculo de raio de curvatura , cujas extremidades têm raios medidos a partir do centro do rotor iguais a e e cujos tangentes nesses pontos formam ângulos e com a direção tangencial, então
O conteúdo é geometria de círculos: o centro de curvatura é a intersecção das normais à curva nos pontos de entrada e saída, e vamos usar produto escalar para extrair .
Passo 2
Denotemos por o centro do rotor e por os pontos de extremidade do arco na entrada e na saída. Seus vetores de posição são
onde são os versores radiais em e . A tangente ao arco em faz ângulo com a direção tangencial , portanto o versor tangente é
e, girando para dentro do arco, a normal (do lado do centro de curvatura) é
Analogamente, em :
Passo 3
Chamando de o centro da circunferência do arco, sabemos que está sobre a normal em e também sobre a normal em :
Em termos dos vetores de posição a partir de O, isso dá
rA+Rpdot a,n4 ;=; rB+Rpdot a,n5
Reagrupando,
rB-rA ;=; Rpdot a,l(n4-n5r)
Passo 4
Para encontrar Rpdot a eliminamos quaisquer ângulos internos projetando em n4+n5. Tomando produto escalar de ambos os lados com n4+n5:
Aqui rAcdotn4=r4cosbeta4 e rBcdotn5=r5cosbeta5. As outras duas projeções envolvem a diferença de já– sabidos deslocamentos angulares entre A e B, mas a mesma geometria circular fornece mais uma relação (o comprimento do vetor rB-rA em função de Rpdot a) que, resolvida em paralelo, elimina esses deslocamentos e traz:
Passo 5
Resumo do resultado da álgebra vetorial: resolvendo simultaneamente
rB-rA =Rpdot a(n4-n5) e (rB-rA)!cdot!(n4+n5)=0,
checando as projeções em cada normal e eliminando o ângulo de giro do arco, obtém– se após simplificar