Mostre que
(a) começando por
; (b) substituindo (4.26) em (4.30).
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:
- (a) começar por
; - (b) substituir a equação
em . Aqui vamos assumir as relações usuais que aparecem nessas equações em termodinâmica: a equação é
onde
e
A equação que vamos usar (forma conveniente de
para derivadas parciais) é
A equação
Nenhuma outra informação será solicitada; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Vamos explicar e fixar os conceitos que usaremos (pega leve, é só organizar as definições):
-
é a energia interna; entropia; temperatura; pressão; volume. - A expressão
é a forma diferencial da energia interna para um sistema simples (noção de 1ª e 2ª leis combinadas). - O calor molar a pressão constante
é definido por
ou seja,
é a derivada da entropia em relação à temperatura à pressão constante.
- O coeficiente de dilatação térmica
é definido por
ou seja,
.
Essas definições nos permitirão trocar derivadas parciais por e
quando necessário.
Essas definições nos permitirão trocar derivadas parciais por
Passo 3
Abordagem (a): partir de
e escrever tudo em incrementos de
e
.
Primeiro escrevemos
como diferencial total em função das variáveis independentes
e
:
Também precisamos escrever
e
em termos de
e
. Usando relações termodinâmicas usuais (a equação
já mencionada) temos:
Além disso, a diferença de volume pode ser escrita como
onde
é a compressibilidade isoterma. (Não precisamos do valor explícito de
, só da forma linear em
.)
Passo 4
Substituímos
e
na expressão
.
Primeiro calcule
:
Agora calcule
:
Somando:
Agrupando os termos em
e
:
Passo 5
Agora lemos a derivada parcial que queremos:
é o coeficiente de
quando
. Da expressão do Passo 4, o coeficiente de
é exatamente
. Portanto:
Assim a identidade foi demonstrada a partir de
.
Passo 6
Abordagem (b): usar diretamente as equações
e
no formato pedido.
A equação
pode ser escrita, obtida a partir de
tomando derivada parcial em relação a
à pressão constante, como
Agora substituímos a equação
que diz
e a definição de
que dá
. Fazendo a substituição:
Pronto — chegamos novamente à mesma expressão.