Mostre que
partindo de (4.47) para
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar a identidade
a partir da expressão dada em (4.47) para
.
Informações relevantes que o enunciado dá / que vamos usar (estou escrevendo explicitamente porque a prova ama definições):
Definições termodinâmicas que aparecerão:
Observação sobre notação: usei
para a compressibilidade isotérmica (às vezes escrita
); se no enunciado original
significa a compressibilidade à temperatura constante, então
.
O que vamos precisar fazer: transformar a derivada
em
usando regra de cadeias e expressar
em termos de
e
. A resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia para a função
vista como
mas considerando
como função de
: ao manter
constante, temos
Explicação didática:
depende diretamente de
e
. Se queremos a variação de
quando apenas
varia e
é fixo, a única via de influência de
em
(mantendo
) é via
. Então derivamos
em relação a
(mantendo
) e multiplicamos pela derivada de
em relação a
(mantendo
). Isso é a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 3
Agora substituímos a expressão (4.47) em
:
Nosso objetivo é reescrever
e
em termos de
,
e
, para poder simplificar.
Passo 4
Encontrando
em termos de
e
. Começamos pela diferencial total de
como função de
e
:
Para variações que mantêm
constante (ou seja, isolando
), colocamos
e obtemos
Isso implica
Agora substituímos pelas definições de
e
:
Logo
Comentário didático: essa identidade é muito útil — ela relaciona a sensibilidade da pressão à temperatura a volume fixo com as grandezas
e
que medem respostas do volume.
Passo 5
Substituímos as expressões encontradas em (Passo 3). Primeiro, note que
E também (do Passo 4)
Substituindo em
temos
Passo 6
Agora fazemos a simplificação algébrica final:
Termo a termo: o fator
cancela no primeiro produto, dando
; o segundo produto dá
. Pronto — chegamos à identidade desejada.