\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} ) Com relação à densidade teórica dos materiais:
O chumbo CFC possui parâmetro de rede de 0,4949 \mathrm{~nm} e contém uma lacuna a cada 500 átomos de Pb. Calcule a massa específica (densidade) e o número de lacunas por grama de Pb.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas (massa específica e número de lacunas por grama):
  • Parâmetro de rede do chumbo (estrutura CFC): \;a = 0,4949\\ \mathrm{nm}.
  • Estrutura cristalina: cúbica de face centrada (CFC).
  • Há uma lacuna a cada 500 átomos de Pb.
  • Precisamos calcular:
    1. a massa específica (densidade) do Pb considerando essa concentração de lacunas;
    2. o número de lacunas por grama de Pb.
Dados que usarei (valores padrão):
M = 207{,}2\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}\quad\text{(massa atômica do Pb)}ô
N_A = 6{,}022\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}\quad\text{(constante de Avogadro)}

Passo 2

Entender quantos átomos há por célula unitária na CFC e como as lacunas entram.
  • Na estrutura CFC, o número de átomos efetivos por célula unitária é
Z = 4.
Explicação curta: cada célula tem 8 átomos nos vértices que contribuem com 1/8 cada um (total 1) e 6 átomos nas faces que contribuem com 1/2 cada (total 3); 1+3=4.
  • A concentração de lacunas é de 1 lacuna por 500 átomos, então o número médio de lacunas por célula unitária é
\text{lacunas por célula} = Z\cdot\frac{1}{500} = 4\cdot\frac{1}{500} = 0{,}008.é
Portanto o número médio de átomos presentes (efetivos) por célula é
Z_{\text{efetivo}} = Z - 0{,}008 = 4 - 0{,}008 = 3{,}992.

Passo 3

Calcular a massa de uma célula unitária (em gramas).
  • Massa de um átomo de Pb (em g) é \dfrac{M}{N_A}.
    Explanação: M é a massa de N_A átomos (1 mol), logo cada átomo tem massa M/N_A.
  • Massa da célula unitária com lacunas:
m_{\text{cel}} = Z_{\text{efetivo}}\cdot\frac{M}{N_A}.
Substituindo números:
m_{\text{cel}} = 3{,}992\cdot\frac{207{,}2}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}.
Calculemos passo a passo:
\frac{M}{N_A}=\frac{207{,}2}{6{,}022\times10^{23}} \approx 3{,}44058\times 10^{-22}\\ \mathrm{g\\ por\\ átomo},á
então
m_{\text{cel}} \approx 3{,}992\cdot 3{,}44058\times 10^{-22}\\ \mathrm{g} \approx 1{,}37348\times 10^{-21}\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Calcular o volume da célula unitária.
  • Converter a para centímetros (para obter densidade em \mathrm{g/cm^3}):
a = 0{,}4949\\ \mathrm{nm} = 0{,}4949\times 10^{-7}\\ \mathrm{cm} = 4{,}949\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Explicação: 1\\ \mathrm{nm}=10^{-7}\\ \mathrm{cm}.
  • Volume da célula:
V_{\text{cel}} = a^3 = (4{,}949\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm})^3.
Calculando:
V_{\text{cel}} \approx 1{,}2121388\times 10^{-22}\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 5

Calcular a densidade \rho do Pb com as lacunas.
  • Fórmula:
\rho = \frac{m_{\text{cel}}}{V_{\text{cel}}}.
Substituindo os valores obtidos:
\rho \approx \frac{1{,}37348\times 10^{-21}\\ \mathrm{g}}{1{,}2121388\times 10^{-22}\\ \mathrm{cm^3}} \approx 11{,}3317\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}.
Arredondando com razoável número de dígitos significativos:
\rho \approx 11{,}33\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}.
Comentário: esse valor fica muito próximo da densidade conhecida do chumbo (~11,34 g/cm^3); a presença de lacunas reduz levemente a densidade em relação ao cristal perfeito.

Passo 6

Calcular o número de lacunas por grama de Pb.
  • Primeiro, número de átomos por grama (independente da densidade local): cada átomo tem massa M/N_A, então em 1\\ \mathrm{g}
n_{\text{átomos/grama}}=\frac{1\\ \mathrm{g}}{M/N_A} = \frac{N_A}{M}.á
Substituindo:
n_{\text{átomos/grama}} = \frac{6{,}022\times 10^{23}}{207{,}2}\approx 2{,}9073\times 10^{21}\\ \text{átomos/g}.áá
  • Como há 1 lacuna a cada 500 átomos, o número de lacunas por grama é
n_{\text{lac/grama}} = \frac{n_{\text{átomos/grama}}}{500} = \frac{N_A}{500\,M}.á
Calculando numericamente:
n_{\text{lac/grama}} \approx \frac{2{,}9073\times 10^{21}}{500} \approx 5{,}8146\times 10^{18}\\ \text{lacunas/g}.

Passo 7

Resumo numérico final (arredondamentos e interpretação):
  • Densidade obtida: \rho \approx 11{,}33\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}.
  • Número de lacunas por grama: n_{\text{lac/grama}} \approx 5{,}81\times 10^{18}\\ \text{lacunas/g}.

Resposta

\rho \approx 11{,}33\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}
n_{\text{lac/grama}} \approx 5{,}81\times 10^{18}\\ \text{lacunas/g}

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