Mostre, a partir da definição limite (usando epsilon e delta ) que:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}-2 x+3\right)=2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir da definição de limite usando \epsilon e \delta, que
\lim_{x\to 1}\left(x^{2}-2x+3\right)=2.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}-2x+3.
  • O ponto onde o limite é tomado é x\to 1.
  • O valor a ser demonstrado como limite é 2.
    A tarefa é: dado qualquer \epsilon>0, encontrar um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, teremos |f(x)-2|<\epsilon.

Passo 2

Recordando a definição de limite (explicação didática): dizer que
\lim_{x\to 1} f(x)=2
significa exatamente: para todo \epsilon>0 (um número pequeno que representa o quanto permitimos de erro na imagem), existe \delta>0 (um número pequeno que representa o quão perto de 1 devemos ficar em x) tal que, sempre que
0<|x-1|<\delta,
então
|f(x)-2|<\epsilon.
Aqui \epsilon é dado arbitrariamente pequeno e queremos construir \delta em função de \epsilon. Vou explicar cada símbolo: \epsilon é a tolerância no valor da função; \delta é a tolerância na variável x; 0<|x-1|<\delta significa que x está dentro de um intervalo aberto em torno de 1, mas não igual a 1.

Passo 3

Calcular a diferença entre f(x) e o valor candidato do limite, simplificando passo a passo (aqui cada passo é óbvio, mas vou detalhar):
|f(x)-2|=\left|x^{2}-2x+3-2\right|=\left|x^{2}-2x+1\right|.
Agora observar que x^{2}-2x+1 é um quadrado perfeito:
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Portanto
|f(x)-2|=\left|(x-1)^{2}\right|.

Passo 4

Usar propriedades do valor absoluto: para todo número real y vale |y^{2}|=|y|^{2}. Aplicando com y=x-1,
|f(x)-2|=|x-1|^{2}.
Queremos que isso seja menor que \epsilon. Logo a condição desejada é
|x-1|^{2}<\epsilon.
Tomando raízes (como \epsilon>0, a raiz quadrada está bem definida),
|x-1|<\sqrt{\epsilon}.
Isto sugere escolher \delta igual a \sqrt{\epsilon} (qualquer número \delta com 0<\delta\le \sqrt{\epsilon} também funciona).

Passo 5

Construção formal do \delta e verificação (prova estilo \epsilon- \delta):
Seja dado um \epsilon>0. Defina
\delta=\sqrt{\epsilon}.
Então \delta>0. Se x satisfaz 0<|x-1|<\delta, temos
|f(x)-2|=|x-1|^{2}<\delta^{2}=(\sqrt{\epsilon})^{2}=\epsilon.
Portanto, para este \delta a condição da definição de limite é satisfeita: sempre que 0<|x-1|<\delta então |f(x)-2|<\epsilon. Como isso vale para todo \epsilon>0, concluímos que
\lim_{x\to 1}\left(x^{2}-2x+3\right)=2.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a intuição: se escolher \epsilon=0,01 então \delta=\sqrt{0,01}=0,1. Isso significa que, sempre que x estiver a menos de 0,1 de 1 (mas não igual a 1), o valor de f(x) estará a menos de 0,01 de 2. Ou seja, escolher \delta=\sqrt{\epsilon} traduz uma tolerância na entrada em uma tolerância quadrática na saída — aqui a relação é particularmente simples porque f(x)-2=(x-1)^{2}.

Resposta

2

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