Mostre, a partir da definição limite (usando epsilon e delta ) que:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x}{x-1}=2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite com \varepsilon e \delta, que
\lim_{x\to 2}\frac{x}{x-1}=2.
Ou seja, é preciso provar que: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, vale
\left|\frac{x}{x-1}-2\right|<\varepsilon.
As informações relevantes que temos são apenas a função x\mapsto \dfrac{x}{x-1} e o ponto de aproximação x=2. A tarefa é construir explicitamente um \delta (em função de \varepsilon) que garanta a desigualdade acima.

Passo 2

Interpretação do que precisamos controlar. Vou trabalhar a diferença \dfrac{x}{x-1}-2 para escrever a distância em termos de |x-2|, que é o que controlamos com \delta.

Passo 3

Fazer a álgebra da diferença passo a passo:
\frac{x}{x-1}-2=\frac{x-2(x-1)}{x-1}=\frac{x-2x+2}{x-1}=\frac{2-x}{x-1}=-\frac{x-2}{x-1}.
Tomando valor absoluto:
\left|\frac{x}{x-1}-2\right|=\frac{|x-2|}{|x-1|}.
Portanto, para garantir \left|\dfrac{x}{x-1}-2\right|<\varepsilon bastará garantir
\frac{|x-2|}{|x-1|}<\varepsilon.

Passo 4

Problema óbvio: o denominador |x-1| depende de x. Para controlá-lo, escolhemos uma restrição provisória em x que mantenha |x-1| afastado de zero. Uma escolha simples é impor |x-2|<\tfrac{1}{2}. Vou mostrar que isso garante |x-1|>\tfrac{1}{2}.
Pela desigualdade triangular reversa:
|x-1|=| (x-2) + 1|\ge |\,1\,|-|x-2| = 1-|x-2|.
Se |x-2|<\tfrac{1}{2}, então 1-|x-2|>1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. Logo, sempre que |x-2|<\tfrac{1}{2} temos
|x-1|>\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior, quando |x-2|<\tfrac{1}{2} obtemos, a partir de \dfrac{|x-2|}{|x-1|},
\left|\frac{x}{x-1}-2\right|=\frac{|x-2|}{|x-1|}<\frac{|x-2|}{\tfrac{1}{2}}=2|x-2|.
Portanto, sob a condição |x-2|<\tfrac{1}{2}, controlar |x-2| controla a diferença da função ao valor limite.

Passo 6

Agora ligamos isso ao \varepsilon dado. Queremos 2|x-2|<\varepsilon, isto é, |x-2|<\dfrac{\varepsilon}{2}. Então uma escolha conveniente de \delta que garante ambas as coisas é
\delta=\min\!\left(\tfrac{1}{2},\; \tfrac{\varepsilon}{2}\right).
Assim, se 0<|x-2|<\delta então |x-2|<\tfrac{1}{2} e |x-2|<\tfrac{\varepsilon}{2}. Pelo passo 5 temos
\left|\frac{x}{x-1}-2\right|<2|x-2|<2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.

Passo 7

Concluímos a prova no formato clássico: dado qualquer \varepsilon>0, escolhe-se \delta=\min\!\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\varepsilon}{2}\big). Então, para todo x com 0<|x-2|<\delta ocorre
\left|\frac{x}{x-1}-2\right|<\varepsilon.
Isso é exatamente a definição de \displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x}{x-1}=2. Boa — conseguimos! Se estiver nervoso na prova, lembra: a ideia é sempre escrever a diferença, isolar |x-2| e garantir que o denominador não fique pequeno demais.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x}{x-1}=2

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