Mostre, a partir da definição limite (usando epsilon e delta ) que: \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x}{x-1}=2
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite com \varepsilon e \delta, que
\lim_{x\to 2}\frac{x}{x-1}=2.
Ou seja, é preciso provar que: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, vale
\left|\frac{x}{x-1}-2\right|<\varepsilon.
As informações relevantes que temos são apenas a função x\mapsto \dfrac{x}{x-1} e o ponto de aproximação x=2. A tarefa é construir explicitamente um \delta (em função de \varepsilon) que garanta a desigualdade acima.
Passo 2
Interpretação do que precisamos controlar. Vou trabalhar a diferença \dfrac{x}{x-1}-2 para escrever a distância em termos de |x-2|, que é o que controlamos com \delta.
Portanto, para garantir \left|\dfrac{x}{x-1}-2\right|<\varepsilon bastará garantir
\frac{|x-2|}{|x-1|}<\varepsilon.
Passo 4
Problema óbvio: o denominador |x-1| depende de x. Para controlá-lo, escolhemos uma restrição provisória em x que mantenha |x-1| afastado de zero. Uma escolha simples é impor |x-2|<\tfrac{1}{2}. Vou mostrar que isso garante |x-1|>\tfrac{1}{2}.
Pela desigualdade triangular reversa:
|x-1|=| (x-2) + 1|\ge |\,1\,|-|x-2| = 1-|x-2|.
Se |x-2|<\tfrac{1}{2}, então 1-|x-2|>1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. Logo, sempre que |x-2|<\tfrac{1}{2} temos
|x-1|>\tfrac{1}{2}.
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior, quando |x-2|<\tfrac{1}{2} obtemos, a partir de \dfrac{|x-2|}{|x-1|},
Portanto, sob a condição |x-2|<\tfrac{1}{2}, controlar |x-2| controla a diferença da função ao valor limite.
Passo 6
Agora ligamos isso ao \varepsilon dado. Queremos 2|x-2|<\varepsilon, isto é, |x-2|<\dfrac{\varepsilon}{2}. Então uma escolha conveniente de \delta que garante ambas as coisas é
Concluímos a prova no formato clássico: dado qualquer \varepsilon>0, escolhe-se \delta=\min\!\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\varepsilon}{2}\big). Então, para todo x com 0<|x-2|<\delta ocorre
\left|\frac{x}{x-1}-2\right|<\varepsilon.
Isso é exatamente a definição de \displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x}{x-1}=2. Boa — conseguimos! Se estiver nervoso na prova, lembra: a ideia é sempre escrever a diferença, isolar |x-2| e garantir que o denominador não fique pequeno demais.