Mostre a partir da definição os seguintes limites. lim x 2 x7=27

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 2, o valor de se aproxima de . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções, um conceito fundamental no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que, sempre que , então . Basicamente, queremos garantir que podemos tornar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Então, queremos provar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão | x7 - 27 | = | x - 27 | = 17 |x - 2| :

Passo 5

Queremos que 17 |x - 2| < varepsilon implies |x - 2| < 7varepsilon . Para facilitar, vamos isolar :

Passo 6

Então, escolhemos 17 |x - 2| < 17 times 7varepsilon = varepsilon . Assim, sempre que , teremos:
O que satisfaz a condição da definição de limite.

Resposta

Portanto, mostramos que usando a definição de limite.

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