Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
Passo 1
O exercício pede para encontrar a derivada da função
usando derivação logarítmica. Vamos usar a derivação logarítmica, que é uma técnica útil para derivar funções complicadas, especialmente quando as variáveis estão multiplicadas ou elevadas a potências. Para isso, vamos precisar conhecer regras básicas de derivação, propriedades dos logaritmos e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a multiplicação e as potências:
Passo 3
Usando as propriedades dos logaritmos, podemos separar os termos:
Passo 4
Simplificamos cada termo:
-
-
(porque ) -
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia onde necessário:
Passo 6
Derivando cada termo:
-
-
-
(usando a regra da cadeia) -
-
Substituindo na equação:
Passo 7
Vamos isolar
. Primeiro, movemos os termos que não contêm
para o lado direito:
Passo 8
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 9
Resolvemos para
:
Resposta
A derivada da função
é: