Mostre que no plano que se \vec{u}=(a, b) e \vec{v}=(-b, a), então \vec{u} \perp \vec{v} \cdot \mathrm{R}:(a, b) \cdot(-b, a)=a \cdot(-b)+b \cdot a=-a b+a b=0
Passo 1
Para mostrar que dois vetores em \mathbb{R}^2 são perpendiculares, usamos a propriedade de que \vec{u}\perp\vec{v} se, e somente se, o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}=0. Aqui temos \vec{u}=(a,b) e \vec{v}=(-b,a).
Passo 2
Aplicando a definição do produto escalar em \mathbb{R}^2:
\vec{u}\cdot\vec{v} = a\cdot(-b) \;+\; b\cdot a = -ab \;+\; ab = 0.
Resposta
Como \vec{u}\cdot\vec{v}=0, concluímos que \vec{u}\perp\vec{v}.