Quais são todos os vetores \vec{u}=(a, b) do plano ortogonais a \vec{v}=(2,3) ? R: (a, b) \cdot(2,3)=0 \Rightarrow a=\frac{-3 b}{2} \Rightarrow\left(\frac{-3 b}{2}, b\right) para qualquer b \in \mathbb{R}.
10. Sejam A=\left(x_{0}, y_{0}\right) e \vec{u}=(a, b). Mostre que \overrightarrow{A X} é ortogonal a \vec{u}, em que X=(x, y), tem se que a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)=0. Que objeto geométrico é representado pelos pontos X que satisfazem essa equação? Represente-o em um esboço, relacionando-o \operatorname{com} A e \vec{u}. \mathrm{R}: \overrightarrow{A X} \cdot \vec{u}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right) \cdot(a, b)=0 \Rightarrow a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)=0. O objeto geométrico é uma reta passando pelo ponto A e cujo o vetor diretor é ortogonal ao vetor \vec{u}

Passo 1

O enunciado contém duas partes sobre produto escalar e ortogonalidade no plano:
  1. Achar todos os vetores \vec{u}=(a,b) tais que \vec{u} é ortogonal a \vec{v}=(2,3).
  2. Dado um ponto A=(x_{0},y_{0}) e um vetor \vec{u}=(a,b), mostrar que a condição de \overrightarrow{AX} ser ortogonal a \vec{u} leva à equação
a\,(x-x_{0})+b\,(y-y_{0})=0
e identificar o objeto geométrico correspondente aos pontos X=(x,y) que satisfazem essa equação.

Passo 2

Para a primeira parte usamos a definição de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Logo, impondo
\vec{u}\cdot\vec{v}=0
temos
(a,b)\cdot(2,3)=2a+3b=0.
Resolvendo para a em função de b,
2a+3b=0 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3b}{2}.

Passo 3

Assim todos os vetores ortogonais a (2,3) são da forma
\vec{u}=\bigl(a,b\bigr) =\Bigl(-\tfrac{3b}{2},\,b\Bigr), \quad b\in\mathbb{R}.
Em particular, definindo t=b, podemos escrever
\vec{u}=t\Bigl(-\tfrac{3}{2},1\Bigr) \quad\text{ou ainda}\quad \vec{u}=s\,(-3,2), \quad s\in\mathbb{R},
o que mostra que esse conjunto é uma reta passando pela origem.

Passo 4

Na segunda parte, tomamos um ponto genérico X=(x,y). O vetor \overrightarrow{AX} é
\overrightarrow{AX}=(x-x_{0},\,y-y_{0}).
Impondo ortogonalidade a \vec{u}=(a,b) via produto escalar, temos
\overrightarrow{AX}\cdot\vec{u} =(x-x_{0},\,y-y_{0})\cdot(a,b) =a\,(x-x_{0})+b\,(y-y_{0})=0.

Passo 5

A equação
a\,(x-x_{0})+b\,(y-y_{0})=0
é a forma geral de uma reta no plano cujo vetor normal é (a,b). Geometricamente, o conjunto dos pontos X que satisfazem essa equação é a reta que passa por A=(x_{0},y_{0}) e é perpendicular ao vetor \vec{u}.
No esboço, marque o ponto A, desenhe a seta \vec{u} a partir de A e, sobre ela, trace em A uma reta que forma 90^\circ com \vec{u}.

Resposta

(a) Todos os vetores ortogonais a \vec{v}=(2,3) são
\vec{u}=\Bigl(-\tfrac{3b}{2},\,b\Bigr), \quad b\in\mathbb{R},
ou equivalentemente
\vec{u}=s\,(-3,2), \quad s\in\mathbb{R}.
(b) Os pontos X=(x,y) tais que \overrightarrow{AX}\perp\vec{u} satisfazem
a\,(x-x_{0})+b\,(y-y_{0})=0,
e este é o conjunto de uma reta passando por A e perpendicular a \vec{u}.

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