Quais são todos os vetores \vec{u}=(a, b) do plano ortogonais a \vec{v}=(2,3) ? R: (a, b) \cdot(2,3)=0 \Rightarrowa=\frac{-3 b}{2} \Rightarrow\left(\frac{-3 b}{2}, b\right) para qualquer b \in \mathbb{R}.
10. Sejam A=\left(x_{0}, y_{0}\right) e \vec{u}=(a, b). Mostre que \overrightarrow{A X} é ortogonal a \vec{u}, em que X=(x, y), tem se que a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)=0. Que objeto geométrico é representado pelos pontos X que satisfazem essa equação? Represente-o em um esboço, relacionando-o \operatorname{com} A e \vec{u}. \mathrm{R}: \overrightarrow{A X} \cdot \vec{u}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right) \cdot(a, b)=0 \Rightarrowa\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)=0. O objeto geométrico é uma reta passando pelo ponto A e cujo o vetor diretor é ortogonal ao vetor \vec{u}
Passo 1
O enunciado contém duas partes sobre produto escalar e ortogonalidade no plano:
Achar todos os vetores \vec{u}=(a,b) tais que \vec{u} é ortogonal a \vec{v}=(2,3).
Dado um ponto A=(x_{0},y_{0}) e um vetor \vec{u}=(a,b), mostrar que a condição de \overrightarrow{AX} ser ortogonal a \vec{u} leva à equação
a\,(x-x_{0})+b\,(y-y_{0})=0
e identificar o objeto geométrico correspondente aos pontos X=(x,y) que satisfazem essa equação.
Passo 2
Para a primeira parte usamos a definição de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Logo, impondo
\vec{u}\cdot\vec{v}=0
temos
(a,b)\cdot(2,3)=2a+3b=0.
Resolvendo para a em função de b,
2a+3b=0 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3b}{2}.
Passo 3
Assim todos os vetores ortogonais a (2,3) são da forma
é a forma geral de uma reta no plano cujo vetor normal é (a,b). Geometricamente, o conjunto dos pontos X que satisfazem essa equação é a reta que passa por A=(x_{0},y_{0}) e é perpendicular ao vetor \vec{u}.
No esboço, marque o ponto A, desenhe a seta \vec{u} a partir de A e, sobre ela, trace em A uma reta que forma 90^\circ com \vec{u}.
Resposta
(a) Todos os vetores ortogonais a \vec{v}=(2,3) são