Considere um ponto A=(1,2) e dois vetores \vec{u}=(0,-1) e \vec{v}=(5,-1). Obtenha os vértices do paralelogramo ABCD , qua satisfaz \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{A D}. Neste contexto, também encontre o ponto médio da diagonal AC e da diagonal BD . Faça um esboço do paralelogramo.
R: B=(1,1), C=(6,0), D=(6,1), P_{B D}= (7 / 2,1), P_{A C}=(7 / 2,1)

Passo 1

O enunciado dá o ponto A=(1,2) e dois vetores \vec u=(0,-1) e \vec v=(5,-1). Queremos construir o paralelogramo ABCD tal que
\overrightarrow{AB}=\vec u \quad\text{e}\quad \overrightarrow{AD}=\vec v,
depois encontrar os pontos médios das diagonais AC e BD e esboçar o paralelogramo. Vamos usar operações de soma de vetores e a fórmula do ponto médio.

Passo 2

Para obter B e D basta somar A aos vetores:
\overrightarrow{AB}=\vec u \;\Longrightarrow\; B = A + \vec u,
\overrightarrow{AD}=\vec v \;\Longrightarrow\; D = A + \vec v.
Substituindo os valores:
B = (1,2) + (0,-1) = (1,1),
D = (1,2) + (5,-1) = (6,1).

Passo 3

O quarto vértice C fecha o paralelogramo. Usamos
C = A + \vec u + \vec v,
ou equivalentemente C = B + \vec v = D + \vec u. Assim,
C = (1,2) + (0,-1) + (5,-1) = (6,0).

Passo 4

O ponto médio de dois pontos X e Y é \tfrac{X+Y}{2}. Logo:
P_{AC} = \frac{A + C}{2} = \frac{(1,2) + (6,0)}{2} = \bigl(\tfrac{7}{2},\,1\bigr),
P_{BD} = \frac{B + D}{2} = \frac{(1,1) + (6,1)}{2} = \bigl(\tfrac{7}{2},\,1\bigr).

Passo 5

Para esboçar, faça um sistema de eixos x y, marque:
  • A=(1,2),
  • B=(1,1),
  • D=(6,1),
  • C=(6,0).
Ligue A\to B\to C\to D\to A para formar o paralelogramo e trace as diagonais AC e BD. Elas se cruzam no ponto médio \bigl(\tfrac{7}{2},1\bigr).

Resposta

B = (1,1)
C = (6,0)
D = (6,1)
Ponto médio de AC: \bigl(\tfrac{7}{2},1\bigr)
Ponto médio de BD: \bigl(\tfrac{7}{2},1\bigr)

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