Mostre que os polinômios
geram
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é gerador de
, o espaço dos polinômios de grau
. Vamos usar como teoria a noção de base em espaço vetorial: um conjunto de 4 vetores não-nulos em um espaço de dimensão 4 é base (logo gera), desde que sejam linearmente independentes. Faremos isso exibindo um isomorfismo que leva a base padrão
exatamente ao conjunto dado.
Passo 2
Defina a transformação linear
Como
tem dimensão 4, basta mostrar que
é inversível e que ela envia a base padrão
no conjunto
.
Passo 3
Verifiquemos que
é inversível. Observe que aplicar
duas vezes dá
Logo
, o que mostra que
é bijetora (e, como é linear, é um isomorfismo).
Passo 4
Pela definição de
, temos
Como
é uma base de
e
é isomorfismo, as imagens desses vetores formam outra base. Portanto
é base de
e, em particular, gera todo o espaço.