Mostre que os polinômios 1,1-x,(1-x)^{2},(1-x)^{3} geram \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
\{\,1,\;1 - x,\;(1 - x)^{2},\;(1 - x)^{3}\}
é gerador de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios de grau <=3. Vamos usar como teoria a noção de base em espaço vetorial: um conjunto de 4 vetores não-nulos em um espaço de dimensão 4 é base (logo gera), desde que sejam linearmente independentes. Faremos isso exibindo um isomorfismo que leva a base padrão \{1,x,x^{2},x^{3}\} exatamente ao conjunto dado.

Passo 2

Defina a transformação linear
\varphi\colon \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), \qquad \varphi\bigl(p(x)\bigr) = p(1 - x).
Como \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) tem dimensão 4, basta mostrar que \varphi é inversível e que ela envia a base padrão \{\,1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\} no conjunto \{\,1,\;1-x,\;(1-x)^{2},\;(1-x)^{3}\}.

Passo 3

Verifiquemos que \varphi é inversível. Observe que aplicar \varphi duas vezes dá
\varphi\bigl(\varphi(p)\bigr)(x) = \varphi\bigl(p(1 - x)\bigr) = p\bigl(1 - (1 - x)\bigr) = p(x).
Logo \varphi\circ\varphi = \mathrm{Id}, o que mostra que \varphi é bijetora (e, como é linear, é um isomorfismo).

Passo 4

Pela definição de \varphi, temos
\varphi(1) = 1, \quad \varphi(x) = 1 - x, \quad \varphi(x^{2}) = (1 - x)^{2}, \quad \varphi(x^{3}) = (1 - x)^{3}.
Como \{1,x,x^{2},x^{3}\} é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e \varphi é isomorfismo, as imagens desses vetores formam outra base. Portanto
\{\,1,\;1 - x,\;(1 - x)^{2},\;(1 - x)^{3}\}
é base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e, em particular, gera todo o espaço.

Resposta

\{\,1,\;1 - x,\;(1 - x)^{2},\;(1 - x)^{3}\} gera \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

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