Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) :
\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes \;E_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, \;E_2=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}, \;E_3=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}, \;E_4=\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&1\end{pmatrix}
geram todo o espaço vetorial M_{2\times2}(\mathbb{R}).
O espaço M_{2\times2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4, então precisamos ver se essas quatro matrizes são linearmente independentes (o que implicaria que elas formam uma base e, portanto, geram o espaço).

Passo 2

Identificamos cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 usando a ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}): \;E_1\mapsto(1,0,0,1), \;E_2\mapsto(1,1,0,0), \;E_3\mapsto(0,0,1,1), \;E_4\mapsto(0,1,2,1).
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para testar a independência, calculamos \det(M). Com operações elementares:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_4\gets R_4-R_1}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & -1& 1 & 1 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira coluna, resta o determinante do sub-bloco \displaystyle\begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&1&2\\\ -1&1&1\end{pmatrix},
cujo valor é zero. Logo \det(M)=1\cdot0=0.

Passo 4

Como \det(M)=0, as colunas são linearmente dependentes. De fato, resolvendo \;aE_1+bE_2+cE_3+dE_4=0
obtemos a relação não trivial
E_4 = -\,E_1 + E_2 + 2\,E_3.

Passo 5

Havendo dependência linear, o posto do conjunto é no máximo 3, menor que a dimensão 4 de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Portanto essas quatro matrizes não geram todo o espaço.

Resposta

As matrizes não geram M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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