O enunciado pede para verificar se as matrizes \;E_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, \;E_2=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}, \;E_3=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}, \;E_4=\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&1\end{pmatrix}
geram todo o espaço vetorial M_{2\times2}(\mathbb{R}).
O espaço M_{2\times2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4, então precisamos ver se essas quatro matrizes são linearmente independentes (o que implicaria que elas formam uma base e, portanto, geram o espaço).
Passo 2
Identificamos cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 usando a ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}): \;E_1\mapsto(1,0,0,1), \;E_2\mapsto(1,1,0,0), \;E_3\mapsto(0,0,1,1), \;E_4\mapsto(0,1,2,1).
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
Expandindo pela primeira coluna, resta o determinante do sub-bloco \displaystyle\begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&1&2\\\ -1&1&1\end{pmatrix},
cujo valor é zero. Logo \det(M)=1\cdot0=0.
Passo 4
Como \det(M)=0, as colunas são linearmente dependentes. De fato, resolvendo \;aE_1+bE_2+cE_3+dE_4=0
obtemos a relação não trivial
E_4 = -\,E_1 + E_2 + 2\,E_3.
Passo 5
Havendo dependência linear, o posto do conjunto é no máximo 3, menor que a dimensão 4 de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Portanto essas quatro matrizes não geram todo o espaço.