Determine os geradores para cada um dos seguintes subespaços de
:
(a)
. Intreprete geometricamente.
(b)
e
. Intreprete geometricamente.
(c)
. Intreprete geometricamente.
(d)
. Intreprete geometricamente.
(e)
. Intreprete geometricamente.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede os geradores (uma base ou conjunto de vetores que geram) de vários subespaços de
definidos por equações lineares, além de interpretar geometricamente cada um. Vamos usar o método de parametrização: resolver as restrições para expressar
como combinação linear de vetores livres.
Passo 2
Para
, escrevemos
Defina parâmetros
e
. Então
Logo
Passo 3
Para
, das duas equações obtemos
Bastando usar
,
Logo
Passo 4
Para
, escreva
Com parâmetros
e
,
Logo
Passo 5
Para
, impomos simultaneamente as restrições de
e de
. Mas as equações de
já incluem
, então
Passo 6
O somatório
é gerado pela união dos geradores de
e de
:
Como
,
e
, tem-se
, ou seja,
Resposta
(a)
. Geometricamente, é um plano que passa pela origem com vetor normal
.
(b)
. Geometricamente, é uma reta pela origem (interseção de dois planos).
(c)
. Geometricamente, é um plano pela origem com vetor normal
.
(d)
. Geometricamente, é a mesma reta de (b).
(e)
. Geometricamente, é todo o espaço.