Determine os geradores para cada um dos seguintes subespaços de \mathbb{R}^{3} :
(a) U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-2 y=0\right\}. Intreprete geometricamente.
(b) V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+z=0\right. e \left.x-2 y=0\right\}. Intreprete geometricamente.
(c) W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+2 y-3 z=0\right\}. Intreprete geometricamente.
(d) U \cap V. Intreprete geometricamente.
(e) V+W. Intreprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede os geradores (uma base ou conjunto de vetores que geram) de vários subespaços de \mathbb{R}^3 definidos por equações lineares, além de interpretar geometricamente cada um. Vamos usar o método de parametrização: resolver as restrições para expressar (x,y,z) como combinação linear de vetores livres.

Passo 2

Para U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2y=0\}, escrevemos
x=2y.
Defina parâmetros y=t e z=s. Então
(x,y,z)=(2t,t,s)=t\,(2,1,0)+s\,(0,0,1).
Logo
U=\Span\{(2,1,0),(0,0,1)\}.

Passo 3

Para V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+z=0,\;x-2y=0\}, das duas equações obtemos
x=2y,\quad z=-x=-2y.
Bastando usar y=t,
(x,y,z)=(2t,t,-2t)=t\,(2,1,-2).
Logo
V=\Span\{(2,1,-2)\}.

Passo 4

Para W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+2y-3z=0\}, escreva
x=-2y+3z.
Com parâmetros y=t e z=s,
(x,y,z)=(-2t+3s,t,s)=t\,(-2,1,0)+s\,(3,0,1).
Logo
W=\Span\{(-2,1,0),(3,0,1)\}.

Passo 5

Para U\cap V, impomos simultaneamente as restrições de U e de V. Mas as equações de V já incluem x-2y=0, então
U\cap V=V=\Span\{(2,1,-2)\}.

Passo 6

O somatório V+W é gerado pela união dos geradores de V e de W:
V+W=\Span\{(2,1,-2),\,(-2,1,0),\,(3,0,1)\}.
Como \dim V=1, \dim W=2 e V\not\subset W, tem-se \dim(V+W)=3, ou seja,
V+W=\mathbb{R}^3.

Resposta

(a) U=\Span\{(2,1,0),(0,0,1)\}. Geometricamente, é um plano que passa pela origem com vetor normal (1,-2,0).
(b) V=\Span\{(2,1,-2)\}. Geometricamente, é uma reta pela origem (interseção de dois planos).
(c) W=\Span\{(-2,1,0),(3,0,1)\}. Geometricamente, é um plano pela origem com vetor normal (1,2,-3).
(d) U\cap V=V=\Span\{(2,1,-2)\}. Geometricamente, é a mesma reta de (b).
(e) V+W=\mathbb{R}^3. Geometricamente, é todo o espaço.

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