Mostre que o ponto A=(raiz32, 12, pi6) está na curva de interseção entre as superfícies definidas por x=cos (z) e y=sen(z). Calcule o comprimento da porção dessa curva entre os pontos A e B=(1,0,0).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que o ponto
A=l(tfracraiz32,;tfrac12,;tfracpi6r)
está na interseção das superfícies
x=cos(z) e y=sin(z)
  1. Calcular o comprimento do pedaço dessa curva de interseção que vai de
Aaté B=(1,0,0) é
Matéria envolvida: parametrização de interseção de superfícies e fórmula de comprimento de arco de curva em 3D,
s=integrala^bl| r'(t)r|,dt

Passo 2

Verificar que A satisfaz as duas equações:
cos!l(zAr)=cos!l(tfracpi6r)=tfracraiz32=xA, sin!l(zAr)=sin!l(tfracpi6r)=tfrac12=yA
Como zA=pi/6, bate com xA e yA. Logo, A está mesmo na curva de interseção.

Passo 3

Parametrização da curva de interseção: basta usar
t=z,
então
r(t)=l(cos t,;sin t,;tr)
Quando t=pi/6 a gente obtém A, e quando t=0 B=(cos0,sin0,0)=(1,0,0).

Passo 4

Calcular a derivada e sua norma:
r'(t)=(-sin t,;cos t,;1),
| r'(t)| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2 =raizsin^2t+cos^2t+1 =raiz2

Passo 5

Aplicar a fórmula de comprimento de arco de t=0 a t=pi/6:
s =integral0^pi/6| r'(t)|,dt =integral0^pi/6raiz2,dt =raiz2,l[;tr]0^pi/6 =raiz2,pi6 =piraiz26

Resposta

L ;=;piraiz26

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