Mostre que os pontos
e
, em
, são colineares. (Use a fórmula da distância).
Passo 1
O enunciado dá três pontos no plano e pede para mostrar que eles são colineares. Os dados são:
O que se pede: verificar — usando a fórmula da distância — que esses três pontos estão sobre uma mesma reta (isto é, são colineares).
Passo 2
Vamos usar a fórmula da distância euclidiana entre dois pontos no plano. Se os pontos são
e
, a distância entre eles é dada por
Explicando:
é a diferença horizontal (cateto horizontal) e
é a diferença vertical (cateto vertical); a distância é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por esses catetos (teorema de Pitágoras).
Também usaremos a ideia do triângulo: para quaisquer três pontos
vale a desigualdade triangular
e há igualdade exatamente quando
está sobre o segmento
(isto é, quando os três pontos são colineares e
fica entre
e
). Portanto, se ao calcularmos as distâncias obtivermos igualdade entre a maior distância e a soma das outras duas, conclui-se colinearidade e que o ponto correspondente fica entre os outros dois.
Passo 3
Calcular
. Usando a fórmula da distância entre
e
:
Passo 4
Calcular
. Entre
e
:
Passo 5
Calcular
. Entre
e
:
Simplificando
.
Passo 6
Comparar as distâncias encontradas:
Logo
Pela desigualdade triangular, a igualdade
só ocorre quando o ponto
está sobre o segmento que liga
a
. Portanto os três pontos são colineares, e além disso
fica entre
e
.
Resposta
Os pontos são colineares; de fato
,
e
, logo
, o que implica colinearidade (com
entre
e
).