Mostre que os pontos A=(-3,2), B=(6,1) e C=(-12,3), em \mathbb{R}^{2}, são colineares. (Use a fórmula da distância).

Passo 1

O enunciado dá três pontos no plano e pede para mostrar que eles são colineares. Os dados são:
  • A = (-3,2)
  • B = (6,1)
  • C = (-12,3)
O que se pede: verificar — usando a fórmula da distância — que esses três pontos estão sobre uma mesma reta (isto é, são colineares).

Passo 2

Vamos usar a fórmula da distância euclidiana entre dois pontos no plano. Se os pontos são (x_1,y_1) e (x_2,y_2), a distância entre eles é dada por
d\big((x_1,y_1),(x_2,y_2)\big)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Explicando: (x_2-x_1) é a diferença horizontal (cateto horizontal) e (y_2-y_1) é a diferença vertical (cateto vertical); a distância é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por esses catetos (teorema de Pitágoras).
Também usaremos a ideia do triângulo: para quaisquer três pontos P,Q,R vale a desigualdade triangular
d(P,R)\le d(P,Q)+d(Q,R),
e há igualdade exatamente quando Q está sobre o segmento PR (isto é, quando os três pontos são colineares e Q fica entre P e R). Portanto, se ao calcularmos as distâncias obtivermos igualdade entre a maior distância e a soma das outras duas, conclui-se colinearidade e que o ponto correspondente fica entre os outros dois.

Passo 3

Calcular AB. Usando a fórmula da distância entre A=(-3,2) e B=(6,1):
AB=\sqrt{(6-(-3))^2+(1-2)^2}=\sqrt{9^2+(-1)^2}=\sqrt{81+1}=\sqrt{82}.

Passo 4

Calcular AC. Entre A=(-3,2) e C=(-12,3):
AC=\sqrt{(-12-(-3))^2+(3-2)^2}=\sqrt{(-9)^2+1^2}=\sqrt{81+1}=\sqrt{82}.

Passo 5

Calcular BC. Entre B=(6,1) e C=(-12,3):
BC=\sqrt{(-12-6)^2+(3-1)^2}=\sqrt{(-18)^2+2^2}=\sqrt{324+4}=\sqrt{328}.
Simplificando \sqrt{328}=\sqrt{4\cdot82}=2\sqrt{82}.

Passo 6

Comparar as distâncias encontradas:
AB=\sqrt{82},\qquad AC=\sqrt{82},\qquad BC=2\sqrt{82}.
Logo
AB+AC=\sqrt{82}+\sqrt{82}=2\sqrt{82}=BC.
Pela desigualdade triangular, a igualdade BC=AB+AC só ocorre quando o ponto A está sobre o segmento que liga B a C. Portanto os três pontos são colineares, e além disso A fica entre B e C.

Resposta

Os pontos são colineares; de fato AB=\sqrt{82}, AC=\sqrt{82} e BC=2\sqrt{82}, logo BC=AB+AC, o que implica colinearidade (com A entre B e C).

Exercícios relacionados