Mostre que os pontos A=(1,-1,3), B=(2,1,7) e C=(4,2,6), em \mathbb{R}^{3}, são vértices de um triângulo retângulo; calcule sua área

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que os pontos A=(1,-1,3), B=(2,1,7) e C=(4,2,6) são vértices de um triângulo retângulo (ou seja, verificar que um dos ângulos do triângulo é 90^\circ).
  • Calcular a área desse triângulo.
Informações dadas:
  • Coordenadas dos pontos em \mathbb{R}^3:
    • A=(1,-1,3)
    • B=(2,1,7)
    • C=(4,2,6)

Passo 2

Primeiro passo prático: construímos os vetores que representam os lados do triângulo, subtraindo coordenadas (sempre que se quer o vetor de P para Q calcula-se \vec{PQ}=Q-P). Vamos calcular \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{BC}.
Cálculos:
\vec{AB}=B-A=(2-1,\;1-(-1),\;7-3)=(1,\,2,\,4).
\vec{AC}=C-A=(4-1,\;2-(-1),\;6-3)=(3,\,3,\,3).
\vec{BC}=C-B=(4-2,\;2-1,\;6-7)=(2,\,1,\,-1).
Explicação curta: subtrair coordenadas componente a componente é a forma padrão de obter vetores posição relativos; por exemplo a primeira componente de \vec{AB} é 2-1, a segunda é 1-(-1), etc.

Passo 3

Para verificar se o triângulo é retângulo verificamos se dois lados são perpendiculares. Conceito-chave: o produto escalar (ou dot product) de dois vetores \vec{u} e \vec{v} é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Relacionamento importante: \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Se \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e os vetores não são nulos, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ; isto é, os vetores são perpendiculares.
Calculemos \vec{AB}\cdot\vec{BC}:
\vec{AB}\cdot\vec{BC}= (1)(2) + (2)(1) + (4)(-1)=2+2-4=0.
Interpretação: \vec{AB} é perpendicular a \vec{BC}. Mas atenção ao significado geométrico: \vec{AB} tem origem em A e extremidade em B; \vec{BC} tem origem em B e extremidade em C. O que importa para o ângulo em B são os vetores que partem de B: \vec{BA}=A-B=-\vec{AB} e \vec{BC}. Como \vec{BA}\cdot\vec{BC}=(-\vec{AB})\cdot\vec{BC}= -(\vec{AB}\cdot\vec{BC})=0, conclui-se que os vetores que se encontram em B são perpendiculares. Logo o ângulo no vértice B é reto.

Passo 4

Conclusão sobre retitude: os pontos A,B,C formam um triângulo retângulo com o ângulo reto localizado em B.
Motivação conceitual: verificar a ortogonalidade via produto escalar é uma forma direta e robusta em \mathbb{R}^3 — se dois lados que se encontram num vértice têm produto escalar zero, aquele vértice é um ângulo de 90^\circ.

Passo 5

Agora calculamos a área. Para um triângulo retângulo a área é metade do produto dos comprimentos (normas) dos catetos. Aqui os catetos que se encontram em B são \vec{BA} e \vec{BC}. Como \vec{BA}=-\vec{AB}, a norma de \vec{BA} é igual à norma de \vec{AB}.
Fórmula da norma (comprimento) de um vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3):
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Calculemos \|\vec{AB}\| e \|\vec{BC}\|:
\|\vec{AB}\|=\sqrt{1^2+2^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}.
\|\vec{BC}\|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.

Passo 6

Área do triângulo retângulo: metade do produto dos comprimentos dos catetos:
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\,\|\vec{BA}\|\;\|\vec{BC}\| =\tfrac{1}{2}\,\|\vec{AB}\|\;\|\vec{BC}\| =\tfrac{1}{2}\sqrt{21}\sqrt{6}.Á
Simplificação numérica:
\sqrt{21}\sqrt{6}=\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}.
Portanto
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\cdot 3\sqrt{14}=\tfrac{3}{2}\sqrt{14}.Á

Resposta

Sim — o triângulo é retângulo (ângulo reto em B).
\text{Área}=\tfrac{3}{2}\sqrt{14}Á

Exercícios relacionados