Mostre que os pontos
e
, em
, são vértices de um triângulo retângulo; calcule sua área
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que os pontos
, e são vértices de um triângulo retângulo (ou seja, verificar que um dos ângulos do triângulo é ). - Calcular a área desse triângulo.
Informações dadas:
- Coordenadas dos pontos em
: -
Passo 2
Primeiro passo prático: construímos os vetores que representam os lados do triângulo, subtraindo coordenadas (sempre que se quer o vetor de
para
calcula-se
). Vamos calcular
,
e
.
Cálculos:
Explicação curta: subtrair coordenadas componente a componente é a forma padrão de obter vetores posição relativos; por exemplo a primeira componente de
é
, a segunda é
, etc.
Passo 3
Para verificar se o triângulo é retângulo verificamos se dois lados são perpendiculares. Conceito-chave: o produto escalar (ou dot product) de dois vetores
e
é
Relacionamento importante:
, onde
é o ângulo entre
e
. Se
e os vetores não são nulos, então
e
; isto é, os vetores são perpendiculares.
Calculemos
:
Interpretação:
é perpendicular a
. Mas atenção ao significado geométrico:
tem origem em
e extremidade em
;
tem origem em
e extremidade em
. O que importa para o ângulo em
são os vetores que partem de
:
e
. Como
, conclui-se que os vetores que se encontram em
são perpendiculares. Logo o ângulo no vértice
é reto.
Passo 4
Conclusão sobre retitude: os pontos
formam um triângulo retângulo com o ângulo reto localizado em
.
Motivação conceitual: verificar a ortogonalidade via produto escalar é uma forma direta e robusta em
— se dois lados que se encontram num vértice têm produto escalar zero, aquele vértice é um ângulo de
.
Passo 5
Agora calculamos a área. Para um triângulo retângulo a área é metade do produto dos comprimentos (normas) dos catetos. Aqui os catetos que se encontram em
são
e
. Como
, a norma de
é igual à norma de
.
Fórmula da norma (comprimento) de um vetor
:
Calculemos
e
:
Passo 6
Área do triângulo retângulo: metade do produto dos comprimentos dos catetos:
Simplificação numérica:
Portanto
Resposta
Sim — o triângulo é retângulo (ângulo reto em
).