Seja
o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como
e a multiplicação por escalar como
. Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de
é linearmente dependente ou linearmente independente.
;
Passo 1
O enunciado dá o espaço
das funções
com as operações usuais e pede para verificar se o subconjunto
é linearmente dependente ou linearmente independente.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
-
representa a função constante para todo . -
representa a função . -
representa a função .
A pergunta é: essas três funções são linearmente dependentes ou independentes?
Passo 2
Definição-chave (explicada de forma simples): um conjunto de funções
é linearmente dependente se existem escalares reais não todos nulos
tais que a combinação linear
é a função zero para todo
. Caso a única solução para essa equação seja
, o conjunto é linearmente independente.
Aqui a “função zero” significa a função que vale para todo
; escrevemos isso como
(identicamente zero).
Aqui a “função zero” significa a função que vale
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso conjunto: suponha que existam
tais que, para todo
,
Isso significa que a função
é identicamente zero, ou seja,
Passo 4
Método concreto (plugando valores de [x)) — isto é fácil de fazer na prova sem teoria avançada: escolho três valores distintos de
para obter um sistema linear para
.
- Para
: temos
- Para
: usando ,
- Para
: usando ,
Agora resolvemos o sistema formado pelas duas equações restantes:
Somando as duas equações obtemos
. Substituindo em
dá
.]
Passo 5
Concluímos que a única solução possível é
. Pelo critério de independência linear (definido no Passo 2), isso significa que não existem escalares não todos nulos que anulem a combinação linear. Portanto o conjunto
é linearmente independente.
Resposta
Linearmente independente.