Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente.
\left\{1, x, x^{2}\right\};

Passo 1

O enunciado dá o espaço F das funções \mathbb{R}\to\mathbb{R} com as operações usuais e pede para verificar se o subconjunto \{1,x,x^{2}\} é linearmente dependente ou linearmente independente.
Informações dadas que vamos usar:
  • 1 representa a função constante f(x)=1 para todo x\in\mathbb{R}.
  • x representa a função f(x)=x.
  • x^{2} representa a função f(x)=x^{2}.
    A pergunta é: essas três funções são linearmente dependentes ou independentes?

Passo 2

Definição-chave (explicada de forma simples): um conjunto de funções \{f_{1},f_{2},f_{3}\} é linearmente dependente se existem escalares reais não todos nulos a,b,c\in\mathbb{R} tais que a combinação linear
a f_{1}(x)+b f_{2}(x)+c f_{3}(x)
é a função zero para todo x. Caso a única solução para essa equação seja a=b=c=0, o conjunto é linearmente independente.
Aqui a “função zero” significa a função que vale 0 para todo x\in\mathbb{R}; escrevemos isso como \equiv 0 (identicamente zero).

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso conjunto: suponha que existam a,b,c\in\mathbb{R} tais que, para todo x\in\mathbb{R},
a\cdot 1 + b\cdot x + c\cdot x^{2} \equiv 0.
Isso significa que a função x\mapsto a + b x + c x^{2} é identicamente zero, ou seja,
a + b x + c x^{2} = 0 \quad\text{para todo } x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Método concreto (plugando valores de [x)) — isto é fácil de fazer na prova sem teoria avançada: escolho três valores distintos de x para obter um sistema linear para a,b,c.
  • Para x=0: temos
a + b\cdot 0 + c\cdot 0^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 0.
  • Para x=1: usando a=0,
0 + b\cdot 1 + c\cdot 1^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad b + c = 0.
  • Para x=-1: usando a=0,
0 + b\cdot(-1) + c\cdot(-1)^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad -b + c = 0.
Agora resolvemos o sistema formado pelas duas equações restantes:
\begin{cases} b + c = 0,\\[4pt] -\,b + c = 0. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos 2c = 0\], logo \(c = 0. Substituindo em b + c = 0 b = 0.]

Passo 5

Concluímos que a única solução possível é a=b=c=0. Pelo critério de independência linear (definido no Passo 2), isso significa que não existem escalares não todos nulos que anulem a combinação linear. Portanto o conjunto \{1,x,x^{2}\} é linearmente independente.

Resposta

Linearmente independente.

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