Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. \left\{1, x, x^{2},(x+1)^{2}\right\}.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço F das funções reais de variável real com as operações usuais:
multiplicação por escalar: \left(a\cdot f_{1}\right)(x)=a\cdot f_{1}(x).
O conjunto que devemos analisar é
\{\,1,\; x,\; x^{2},\; (x+1)^{2}\,\}.
A pergunta é: esse subconjunto de F é linearmente dependente ou linearmente independente?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar com calma o que significam essas duas coisas (sem pressa, é importante entender direito):
Dizemos que um conjunto de vetores (ou funções) \{v_1,\dots,v_n\} é linearmente independente se a única solução para
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0
é c_1=c_2=\cdots=c_n=0. Aqui 0 é o vetor nulo (no nosso caso, a função nula, que vale zero para todo x).
Dizemos que é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial (isto é, nem todos os coeficientes c_i são zero) que produz a função nula:
No caso de polinômios, uma maneira prática de testar isso é escrever uma combinação linear e usar o fato de que um polinômio é identicamente zero se, e somente se, todos os seus coeficientes são zero.
Passo 3
Vamos escrever uma combinação linear genérica das quatro funções e ver se existe uma solução não trivial:
a\cdot 1 + b\cdot x + c\cdot x^{2} + d\cdot (x+1)^{2} \equiv 0 \quad\text{(função nula para todo \(x\))},
onde a,b,c,d são escalares reais.
Agora expando (x+1)^{2}:
(x+1)^{2} = x^{2} + 2x + 1.
Substituindo na combinação:
a + b x + c x^{2} + d(x^{2}+2x+1) = (a + d) + (b + 2d)\,x + (c + d)\,x^{2}.
Para que essa expressão seja a função nula (igual a zero para todo x), os coeficientes de 1, de x e de x^{2} têm que ser zero. Assim obtemos o sistema
\begin{cases} a + d = 0,\\[4pt] b + 2d = 0,\\[4pt] c + d = 0. \end{cases}]
Passo 4
Esse sistema tem certamente soluções não todas nulas. Por exemplo, escolhendo d=1 obtemos
Como encontramos uma relação linear não trivial entre os quatro elementos, concluímos que o conjunto é linearmente dependente.
Passo 5
Dica prática para a prova (jeito rápido e seguro): ao ver polinômios, tente expandir e ver se algum polinômio é combinação linear dos outros. Aqui foi ainda mais direto: (x+1)^{2} é exatamente 1 + 2x + x^{2}, ou seja, está no espaço gerado por \{1,x,x^{2}\}. Portanto já basta para declarar dependência. Outra observação (mais teórica): o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 tem dimensão 3, então qualquer conjunto com 4 polinômios desse espaço é necessariamente linearmente dependente — é outro argumento rápido, se lembrar do conceito de dimensão.