Mostre que o potencial elétrico no eixo de um anel carregado de raio
é dado por:
e, a partir deste resultado, mostre que o campo elétrico no eixo do anel é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar como o potencial elétrico no eixo de um anel carregado de raio $ a $ é dado por uma certa fórmula, e depois usar esse resultado para encontrar o campo elétrico nesse mesmo eixo. Vamos precisar saber um pouco sobre eletrostática, especificamente sobre como calcular potenciais e campos elétricos gerados por distribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o potencial elétrico. Ele representa a energia potencial por unidade de carga em um ponto no espaço devido a uma distribuição de carga. No caso de um anel carregado, queremos achar esse potencial em um ponto localizado ao longo do eixo do anel, a uma distância $ x $ do centro.
Passo 3
Imagine que o anel tem uma carga total $ q $ distribuída uniformemente. Para calcular o potencial em um ponto no eixo, usamos a fórmula do potencial para uma carga pontual, já que, pela simetria, cada pequeno pedaço de carga no anel contribui igualmente para o potencial no ponto considerado.
A fórmula geral do potencial elétrico devido a uma carga $ dq $ é:
onde $ r $ é a distância entre a carga $ dq $ e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 4
No nosso caso, todos os pontos do anel estão a uma distância $ r = \sqrt{x^2 + a^2} $ do ponto no eixo. Isso porque, pelo teorema de Pitágoras, a distância entre um ponto no anel e o ponto no eixo é a hipotenusa de um triângulo com catetos $ x $ e $ a $.
Passo 5
Como a distância $ r $ é a mesma para todos os elementos de carga no anel, podemos integrar a expressão do potencial sobre todo o anel:
Passo 6
Sabendo que a carga total no anel é $ q $, a integração simplifica para:
Passo 7
Então, mostramos que o potencial elétrico no eixo do anel carregado é:
Passo 8
Agora, para encontrar o campo elétrico $ E $ no eixo, usamos a relação entre o campo elétrico e o potencial:
Isso significa que o campo elétrico é a derivada negativa do potencial em relação à posição $ x $.
Passo 9
Vamos derivar $ V $ em relação a $ x $:
Usando a regra do poder na derivada, temos:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão do campo elétrico:
Resposta
Portanto, o campo elétrico no eixo do anel carregado é dado por: