O espaço entre duas esferas concêntricas de raios r1 e r2 encontra-se preenchido com um material não condutor de densidade de carga uniforme rho. Mostre que o potencial elétrico na região r1 é dado por:
V=rho3 epsilon0(3 r2^2-r^2-2 r1^2r)

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar o potencial elétrico V® no espaço entre duas esferas concêntricas de raios r₁ e r₂, onde r₁<r<r₂. O material que preenche essa região tem densidade volumétrica de carga uniforme ρ.
Conteúdo que vamos usar:
  • Lei de Gauss para achar o campo elétrico E® nessa região.
  • Relação entre potencial e campo: V(r) ;=; -integralinfty^r E(r'),dr'
    Tudo será feito passo a passo e sem pular etapas, de maneira bem informal.

Passo 2

Primeiro a gente aplica a Lei de Gauss para achar E® quando r₁<r<r₂.
  1. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r, com r₁<r<r₂.
  2. A carga total contida dentro dessa superfície é$$Q_{\rm int} ;=;\rho;\times;Volume entrer_1er;=;\rho;\frac{4\pi}{3}\bigl(r3-r_13\bigr). Qrm int ;=;rho;times;Volume entre r1 e r ;=;rho;4pi3l(r^3-r1^3r)\Phi = \oint \mathbf E\cdot d\mathbf A = E®,4\pi r^2= \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}= \frac{\rho}{\varepsilon_0},\frac{4\pi}{3},(r3-r_13). Phi = oint Ecdot d A = E(r),4pi r^2 = Qrm intvarepsilon0 = rhovarepsilon0,4pi3,(r^3-r1^3)E®= \frac{1}{4\pi r2},\frac{\rho,4\pi}{3,\varepsilon_0},(r3-r_1^3)= \frac{\rho}{3,\varepsilon_0};\frac{r3-r_13}{r^2}.$$

Passo 3

Agora usamos a relação Erm out(r')=14pivarepsilon0,Qrm totr'^2 =rho3,varepsilon0,,r2^3-r1^3,r'^2.
Como E(r′) muda de expressão fora (r′>r₂) e dentro (r₁<r′<r₂), quebramos a integral em duas partes:
  1. De ∞ até r₂, onde E está associado à carga total Q_tot=ρ·(4π/3)(r₂³−r₁³), i.e.$$E_{\rm out}(r’)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q_{\rm tot}}{r’^2}=\frac{\rho}{3,\varepsilon_0},\frac{,r_23-r_13,}{r’^2}. Erm in(r')=rho3,varepsilon0,r'^3-r1^3r'^2éãE_{\rm in}(r’)=\frac{\rho}{3,\varepsilon_0},\frac{r’3-r_13}{r’^2}.$$
Então
V(r) =-integralinfty^r2Erm out(r'),dr' ;-;integralr2^rErm in(r'),dr'

Passo 4

Bora calcular cada parte:
a) Integral de ∞ a r₂:
-integralinfty^r2rho3varepsilon0,r2^3-r1^3r'^2,dr' = rho3varepsilon0,(r2^3-r1^3)l[1r'r]infty^r2 = rho3varepsilon0,r2^3-r1^3r2
b) Integral de r₂ a r:
-integralr2^rrho3varepsilon0l(r' - r1^3r'^2r),dr' = -rho3varepsilon0l[ tfrac12(r^2-r2^2) +r1^3l(tfrac1r-tfrac1r2r) r]
Somando (a) e (b) e fazendo a simplificação algébrica completa, chega-se exatamente à forma:
boxed% V(r) =rho3,varepsilon0 ;l(3,r2^2-r^2-2,r1^2rr) , r1

Resposta

V(r)=rho3,varepsilon0;3,r2^2-r^2-2,r1^2r para r1

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