O espaço entre duas esferas concêntricas de raios
e
encontra-se preenchido com um material não condutor de densidade de carga uniforme
. Mostre que o potencial elétrico na região
é dado por:
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar o potencial elétrico V® no espaço entre duas esferas concêntricas de raios r₁ e r₂, onde r₁<r<r₂. O material que preenche essa região tem densidade volumétrica de carga uniforme ρ.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Lei de Gauss para achar o campo elétrico E® nessa região.
- Relação entre potencial e campo:
Tudo será feito passo a passo e sem pular etapas, de maneira bem informal.
Passo 2
Primeiro a gente aplica a Lei de Gauss para achar E® quando r₁<r<r₂.
- Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r, com r₁<r<r₂.
- A carga total contida dentro dessa superfície é$$Q_{\rm int} ;=;\rho;\times;Volume entrer_1er;=;\rho;\frac{4\pi}{3}\bigl(r3-r_13\bigr).
\Phi = \oint \mathbf E\cdot d\mathbf A = E®,4\pi r^2= \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}= \frac{\rho}{\varepsilon_0},\frac{4\pi}{3},(r3-r_13). E®= \frac{1}{4\pi r2},\frac{\rho,4\pi}{3,\varepsilon_0},(r3-r_1^3)= \frac{\rho}{3,\varepsilon_0};\frac{r3-r_13}{r^2}.$$
Passo 3
Agora usamos a relação
.
Como E(r′) muda de expressão fora (r′>r₂) e dentro (r₁<r′<r₂), quebramos a integral em duas partes:
Como E(r′) muda de expressão fora (r′>r₂) e dentro (r₁<r′<r₂), quebramos a integral em duas partes:
- De ∞ até r₂, onde E está associado à carga total Q_tot=ρ·(4π/3)(r₂³−r₁³), i.e.$$E_{\rm out}(r’)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q_{\rm tot}}{r’^2}=\frac{\rho}{3,\varepsilon_0},\frac{,r_23-r_13,}{r’^2}.
E_{\rm in}(r’)=\frac{\rho}{3,\varepsilon_0},\frac{r’3-r_13}{r’^2}.$$
Então
Passo 4
Bora calcular cada parte:
a) Integral de ∞ a r₂:
b) Integral de r₂ a r:
Somando (a) e (b) e fazendo a simplificação algébrica completa, chega-se exatamente à forma: