Mostre que:
a pressão exercida na base de uma coluna de líquido inclinada de um ângulo \theta é igual a \rho g h c o s \theta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a pressão exercida na base de uma coluna de líquido inclinada é \rho g h \cos\theta.
Informações e convenções que vou usar (tudo que vem do enunciado ou que é necessário assumir para resolver sem perguntar nada):
  • \rho é a densidade do líquido (constante).
  • g é a aceleração da gravidade.
  • h é o comprimento medido ao longo da coluna inclinada, entre a superfície livre do líquido e a base onde se quer saber a pressão.
  • \theta é o ângulo entre o eixo da coluna e a direção vertical (ou seja, se a coluna está perfeitamente vertical, \theta=0; se estiver horizontal, \theta=90^\circ). Esta escolha de referência é necessária para obter o fator \cos\theta que aparece na fórmula.
  • Pressão medida aqui é a pressão adicional causada apenas pela coluna de líquido (pressão “devida ao líquido” ou pressão manométrica). Se for necessária a pressão absoluta, deve-se somar a pressão atmosférica p_{\text{atm}}.
O objetivo é mostrar, usando conceitos básicos de fluidostática, que a pressão na base (pressão devida ao líquido) vale \rho g h \cos\theta.

Passo 2

Princípio básico de fluidostática (a ideia central que vamos usar).
  • Em um fluido em repouso, a pressão varia com a profundidade vertical: quanto mais abaixo da superfície livre, maior a pressão.
  • Se y for a profundidade vertical abaixo da superfície livre (distância medida verticalmente, não ao longo da inclinação), a relação fundamental é
p(y)=p_0+\rho g y,
onde p_0 é a pressão na superfície livre (normalmente a pressão atmosférica). Esta fórmula diz: a pressão aumenta linearmente com a profundidade vertical, com taxa \rho g.
Vou agora mostrar rapidamente de onde vem essa relação (passo didático curto, muito útil na prova).

Passo 3

Derivação elementar da lei p(y)=p_0+\rho g y (passo-a-passo).
  • Considere um pequeno paralelepípedo de fluido de área de base A e espessura vertical \Delta y, localizado entre profundidades y e y+\Delta y.
  • Forças verticais sobre esse elemento:
    • Força para baixo na face superior: F_{\text{sup}}=p(y)\,A.
    • Força para cima na face inferior: F_{\text{inf}}=p(y+\Delta y)\,A.
    • Peso do elemento para baixo: W=\rho\,A\,\Delta y\,g.
  • Como o fluido está em equilíbrio, somatória das forças verticais é zero:
F_{\text{inf}} - F_{\text{sup}} - W = 0.
Substituindo,
p(y+\Delta y)A - p(y)A - \rho A \Delta y\, g = 0.
Dividindo por A e passando ao limite \Delta y\to 0,
\frac{dp}{dy}=\rho g.
  • Integrando desde a superfície ( y=0, pressão p(0)=p_0) até profundidade y,
p(y)=p_0+\rho g y.
Essa é a lei que diz que só a componente vertical da distância importa para a pressão.

Passo 4

Relacionando a profundidade vertical y com o comprimento inclinado h e o ângulo \theta.
  • Pela definição geométrica adotada: \theta é o ângulo entre a coluna e a vertical. Então a componente vertical do segmento de comprimento h é
y = h\cos\theta.
(Se a coluna fosse medida em relação à horizontal, a componente vertical seria h\sin\theta; por isso é importante a convenção escolhida no Passo 1.)
  • Substituindo y=h\cos\theta na fórmula da presssão,
p = p_0 + \rho g (h\cos\theta).
  • Se quisermos apenas a pressão devida ao líquido (pressão manométrica), subtrai-se p_0 (por exemplo, p_0=p_{\text{atm}}), ficando
p_{\text{líquido}}=\rho g h\cos\theta.í

Passo 5

Verificações e intuição (para fixar na prova).
  • Caso especial \theta=0 (coluna vertical): \cos 0 = 1, então p_{\text{líquido}}=\rho g hí, que é a fórmula usual para coluna vertical de altura h.
  • Caso especial \theta=90^\circ (coluna horizontal): \cos 90^\circ = 0, então p_{\text{líquido}}=0í. Isso faz sentido: se não há diferença de altura entre a base e a superfície livre, o líquido não gera pressão adicional.
  • Intuição física: somente a componente vertical da “altura” produz aumento de pressão; a inclinação não cria “peso extra” além da componente vertical.

Passo 6

Conclusão final: a pressão exercida na base pela coluna inclinada (considerando apenas a contribuição do líquido) é
p_{\text{líquido}}=\rho g h\cos\theta.í

Resposta

\rho g h \cos\theta

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