Mostre que:
a pressão exercida na base de uma coluna de líquido inclinada de um ângulo
é igual a
.
a pressão exercida na base de uma coluna de líquido inclinada de um ângulo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a pressão exercida na base de uma coluna de líquido inclinada é
.
Informações e convenções que vou usar (tudo que vem do enunciado ou que é necessário assumir para resolver sem perguntar nada):
-
é a densidade do líquido (constante). -
é a aceleração da gravidade. -
é o comprimento medido ao longo da coluna inclinada, entre a superfície livre do líquido e a base onde se quer saber a pressão. -
é o ângulo entre o eixo da coluna e a direção vertical (ou seja, se a coluna está perfeitamente vertical, ; se estiver horizontal, ). Esta escolha de referência é necessária para obter o fator que aparece na fórmula. - Pressão medida aqui é a pressão adicional causada apenas pela coluna de líquido (pressão “devida ao líquido” ou pressão manométrica). Se for necessária a pressão absoluta, deve-se somar a pressão atmosférica
.
O objetivo é mostrar, usando conceitos básicos de fluidostática, que a pressão na base (pressão devida ao líquido) vale
.
Passo 2
Princípio básico de fluidostática (a ideia central que vamos usar).
- Em um fluido em repouso, a pressão varia com a profundidade vertical: quanto mais abaixo da superfície livre, maior a pressão.
- Se
for a profundidade vertical abaixo da superfície livre (distância medida verticalmente, não ao longo da inclinação), a relação fundamental é
onde
é a pressão na superfície livre (normalmente a pressão atmosférica). Esta fórmula diz: a pressão aumenta linearmente com a profundidade vertical, com taxa
.
Vou agora mostrar rapidamente de onde vem essa relação (passo didático curto, muito útil na prova).
Passo 3
Derivação elementar da lei
(passo-a-passo).
- Considere um pequeno paralelepípedo de fluido de área de base
e espessura vertical , localizado entre profundidades e . - Forças verticais sobre esse elemento:
- Força para baixo na face superior:
. - Força para cima na face inferior:
. - Peso do elemento para baixo:
.
- Força para baixo na face superior:
- Como o fluido está em equilíbrio, somatória das forças verticais é zero:
Substituindo,
Dividindo por
e passando ao limite
,
- Integrando desde a superfície (
, pressão ) até profundidade ,
Essa é a lei que diz que só a componente vertical da distância importa para a pressão.
Passo 4
Relacionando a profundidade vertical
com o comprimento inclinado
e o ângulo
.
- Pela definição geométrica adotada:
é o ângulo entre a coluna e a vertical. Então a componente vertical do segmento de comprimento é
(Se a coluna fosse medida em relação à horizontal, a componente vertical seria
; por isso é importante a convenção escolhida no Passo 1.)
- Substituindo
na fórmula da presssão,
- Se quisermos apenas a pressão devida ao líquido (pressão manométrica), subtrai-se
(por exemplo, ), ficando
Passo 5
Verificações e intuição (para fixar na prova).
- Caso especial
(coluna vertical): , então , que é a fórmula usual para coluna vertical de altura . - Caso especial
(coluna horizontal): , então . Isso faz sentido: se não há diferença de altura entre a base e a superfície livre, o líquido não gera pressão adicional. - Intuição física: somente a componente vertical da “altura” produz aumento de pressão; a inclinação não cria “peso extra” além da componente vertical.
Passo 6
Conclusão final: a pressão exercida na base pela coluna inclinada (considerando apenas a contribuição do líquido) é