Mostre que
e
existem em toda parte e encontre
para as funções abaixo(sugestão: ler a seção 23 do Churchill).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função é inteira (derivável em toda parte) e encontrar sua segunda derivada. O conteúdo é de funções complexas e as equações de Cauchy–Riemann serão usadas para confirmar a analiticidade antes de calcular as derivadas.
Passo 2
Identificamos a parte real e imaginária. Escrevendo
, temos
Logo
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
Elas são satisfeitas em todo
, logo
é analítica em toda parte.
Passo 5
Para a derivada primeira de uma função analítica usamos
Substituindo,
Passo 6
Diferenciando de novo para obter a segunda derivada, lembrando que
, obtemos