Mostre que f^prime(z) e f^prime prime(z) existem em toda parte e encontre f^prime prime(z) para as funções abaixo(sugestão: ler a seção 23 do Churchill).
f(z)=cos x cosh y-i sin x sinh y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função é inteira (derivável em toda parte) e encontrar sua segunda derivada. O conteúdo é de funções complexas e as equações de Cauchy–Riemann serão usadas para confirmar a analiticidade antes de calcular as derivadas.

Passo 2

Identificamos a parte real e imaginária. Escrevendo z=x+iy, temos
f(x+iy)=cos x,cosh y - i,sin x,sinh y
Logo
u(x,y)=cos x,cosh y,
v(x,y)=-sin x,sinh y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
ux = -sin x,cosh y,
uy = cos x,sinh y,
vx = -cos x,sinh y,
vy = -sin x,cosh y

Passo 4

Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
ux = vy implies -sin xcosh y = -sin xcosh y,
uy = -vx implies cos xsinh y = -(-cos xsinh y)
Elas são satisfeitas em todo (x,y), logo f é analítica em toda parte.

Passo 5

Para a derivada primeira de uma função analítica usamos
f'(z)=ux + i,vx
Substituindo,
f'(z)= -sin xcosh y + il(-cos xsinh yr) = -l(sin xcosh y + icos xsinh yr) = -sin z

Passo 6

Diferenciando de novo para obter a segunda derivada, lembrando que (sin z)'=cos z, obtemos
f''(z)=l(-sin zr)' = -cos z

Resposta

f''(z) = -cos z = -cos xcosh y + isin xsinh y.

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