Mostre que uma primitiva de
é a função
.
Primitivas mais Elaboradas
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que uma primitiva de
é
Isso significa provar que
para
em
. Para isso vamos usar a ideia de diferenciação de funções inversas e regra da cadeia.
Passo 2
Definimos
Por definição de função inversa, isso equivale a
com
e
.
Passo 3
Derivando implicitamente a relação
em relação a
, aplicamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Daí isolamos
:
Passo 4
Precisamos agora escrever
em função de
. Como
, usamos a identidade pitagórica
logo, tomando a raiz positiva (pois
),
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos
Mas
. Portanto
Passo 6
Como satisfazemos
em
, concluímos que
é de fato uma primitiva de
.