Mostre que uma primitiva de f(x)=1raiz1-x^2 é a função F(x)=arcsen(x).

Primitivas mais Elaboradas

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que uma primitiva de
f(x)=1raiz1-x^2
é
F(x)=arcsen(x)
Isso significa provar que
F'(x)=f(x)
para x em (-1,1). Para isso vamos usar a ideia de diferenciação de funções inversas e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
y = F(x) = arcsen(x)
Por definição de função inversa, isso equivale a
sin(y) = x,
com yinl[-tfracpi2,tfracpi2r] e xin(-1,1).

Passo 3

Derivando implicitamente a relação sin(y)=x em relação a x, aplicamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
cos(y),dydx = 1
Daí isolamos tfracdydx:
dydx = 1cos(y)

Passo 4

Precisamos agora escrever cos(y) em função de x. Como sin(y)=x, usamos a identidade pitagórica
cos^2(y) = 1 - sin^2(y),
logo, tomando a raiz positiva (pois yin[-tfracpi2,tfracpi2]),
cos(y) = raiz1 - sin^2(y) = raiz1 - x^2

Passo 5

Substituindo cos(y) em dydx, obtemos
dydx = 1raiz1 - x^2
Mas dydx=F'(x). Portanto
F'(x) = 1raiz1 - x^2 = f(x)

Passo 6

Como satisfazemos F'(x)=f(x) em (-1,1), concluímos que
F(x)=arcsen(x) é de fato uma primitiva de
f(x)=1raiz1-x^2.

Resposta

F(x)=arcsen(x) é uma primitiva de f(x)=1raiz1-x^2.

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