Mostre que o princípio de incerteza para uma partícula no nível fundamental de um movimento harmônico simples é dado por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, no estado fundamental de um oscilador harmônico quântico unidimensional, o produto das incertezas de posição
e momento
atinge o valor mínimo permitido pelo princípio de incerteza de Heisenberg. O conteúdo é mecânica quântica e vamos precisar da forma da função de onda do estado fundamental e do cálculo de esperanças e variâncias de
e
.
Passo 2
O estado fundamental do oscilador harmônico tem função de onda
com
Esse estado é uma gaussiana centrada em
.
Passo 3
Calculemos primeiro as esperanças de
e
. Como
é par,
e
Passo 4
A incerteza em
é
Passo 5
O operador momento é
. De modo análogo,
pelo mesmo argumento de paridade, e
Passo 6
A incerteza em
fica
Passo 7
Multiplicando as duas incertezas, obtemos
Esse resultado mostra que o estado fundamental é um estado de incerteza mínima, saturando a desigualdade de Heisenberg
.