Mostre que o princípio de incerteza para uma partícula no nível fundamental de um movimento harmônico simples é dado por \Delta x \Delta p=\hbar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, no estado fundamental de um oscilador harmônico quântico unidimensional, o produto das incertezas de posição x e momento p atinge o valor mínimo permitido pelo princípio de incerteza de Heisenberg. O conteúdo é mecânica quântica e vamos precisar da forma da função de onda do estado fundamental e do cálculo de esperanças e variâncias de x e p.

Passo 2

O estado fundamental do oscilador harmônico tem função de onda
\psi_{0}(x) =\Bigl(\frac{\alpha}{\pi}\Bigr)^{\!1/4} \exp\Bigl(-\frac{\alpha\,x^{2}}{2}\Bigr)
com
\alpha = \frac{m\omega}{\hbar}.
Esse estado é uma gaussiana centrada em x=0.

Passo 3

Calculemos primeiro as esperanças de x e x^{2}. Como \psi_{0}(x) é par,
\langle x\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}x\,|\psi_{0}(x)|^{2}\,dx = 0,
e
\langle x^{2}\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\,|\psi_{0}(x)|^{2}\,dx =\frac{1}{2\alpha} =\frac{\hbar}{2m\omega}.

Passo 4

A incerteza em x é
\Delta x =\sqrt{\langle x^{2}\rangle - \langle x\rangle^{2}} =\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}.

Passo 5

O operador momento é \hat p=-i\hbar\,d/dx. De modo análogo,
\langle p\rangle=0
pelo mesmo argumento de paridade, e
\langle p^{2}\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{0}^{*}(x) \bigl(-\hbar^{2}\tfrac{d^{2}}{dx^{2}}\bigr)\psi_{0}(x)\,dx =\frac{\hbar\,m\omega}{2}.

Passo 6

A incerteza em p fica
\Delta p =\sqrt{\langle p^{2}\rangle - \langle p\rangle^{2}} =\sqrt{\frac{\hbar\,m\omega}{2}}.

Passo 7

Multiplicando as duas incertezas, obtemos
\Delta x\,\Delta p =\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\;\sqrt{\frac{\hbar\,m\omega}{2}} =\frac{\hbar}{2}.
Esse resultado mostra que o estado fundamental é um estado de incerteza mínima, saturando a desigualdade de Heisenberg \Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2.

Resposta

\displaystyle \Delta x\,\Delta p = \frac{\hbar}{2}.

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