O princípio de incerteza de Heisenberg impõe restrições à precisão com que se podem efetuar medidas simultâneas de uma classe de pares de observáveis canonicamente conjugadas. Para ficar mais claro, quando se quer encontrar a posição de um elétron, é necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, podemos incidir sobre ele algum tipo de radiação. Para determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição. Em outras palavras, a incerteza de uma medida está relacionada com o tamanho da menor escala do instrumento que se utiliza. No caso da medida da posição do elétron acima, quanto menor for o comprimento de onda (maior frequência, lembre-se que
) maior é a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação em virtude da relação de Planck entre energia e frequência da radiação
, e o elétron sofrerá um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton (lembre-se que uma das premissas deste modelo é a conservação de momento linear). Um exemplo interessante da relação de incerteza relacionada com os observáveis canonicamente conjugados energia e tempo
é descrita por Lev Vaidman, em American Journal of Physics 60, 182 (1992). Neste caso,
, onde
é o tempo gasto para o estado
evoluir para um estado ortogonal a
. Faça um teste desta hipótese usando um estado que é uma mistura igual de estados estacionários ortogonais
e
, ou seja,
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos testar a relação de incerteza tempo–energia
usando o estado
em que
e
são estados estacionários ortogonais de energias
e
. Precisamos (i) achar o menor tempo
para que
seja ortogonal a
, definir
, (ii) calcular
nesse estado e (iii) verificar se
.
Passo 2
A evolução temporal do estado é
O produto interno com o estado inicial é
Para ortogonalidade impomos
logo
Passo 3
Pela definição de Vaidman,
Passo 4
O desvio-padrão de energia neste estado é
com
Logo
Passo 5
Multiplicando
por
:
confirmando a relação de incerteza.
Resposta
A relação
é satisfeita para o estado dado.