Questão 1: (2.5 pontos)
Resolva o seguinte problema de valor inicial e expresse a solução na forma implícita:
y^{\prime}=\frac{x y \operatorname{sen} x}{y+1}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial:
y'(x)=\frac{x\,y(x)\,\operatorname{sen}x}{y(x)+1},\qquad y(0)=1.
O que é pedido: resolver o problema de valor inicial e expressar a solução na forma implícita.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função incógnita é y(x).
  • A derivada \,y'(x)\, é dada por \dfrac{x\,y\,\operatorname{sen}x}{y+1}.
  • A condição inicial é \,y(0)=1.

Passo 2

Vamos escolher um método. Observando a forma da equação, nota-se que é possível separar variáveis (isto é, escrever todos os termos com y num lado e todos os termos com x no outro). Explico o método de separação de variáveis de forma simples e geral:
Se uma equação diferencial pode ser escrita como
y' = g(x)\,h(y),
então podemos reescrevê-la como
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx
e integrar ambos os lados:
\int \frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx + C.
Aqui dy e dx indicam as variáveis de integração; C é a constante de integração que será determinada pela condição inicial. Esta técnica é muito usada porque transforma a EDO numa igualdade entre primitivos (integrais).

Passo 3

Aplicando separação de variáveis à nossa equação. Primeiro escrevo y' como \dfrac{dy}{dx} e separo os termos:
\frac{dy}{dx}=\frac{x y \operatorname{sen}x}{y+1}
\Longrightarrow \quad \frac{y+1}{y}\,dy = x\,\operatorname{sen}x\,dx.
Aqui fizemos a multiplicação cruzada por dx e por \dfrac{y+1}{y} para obter os y do lado esquerdo e os x do lado direito.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Primeiro simplifico a fração do lado esquerdo:
\frac{y+1}{y} = 1 + \frac{1}{y}.
Portanto
\int\!\left(1+\frac{1}{y}\right)dy = \int x\,\operatorname{sen}x\,dx.
Explico os primitivos do lado esquerdo:
  • \int 1\,dy = y.
  • \int \dfrac{1}{y}\,dy = \ln|y|. Aqui é importante observar o valor absoluto: o primitivo de 1/y é \ln|y| porque o logaritmo natural é definido para argumentos positivos, e o uso do valor absoluto garante a validade para y<0 também. Depois veremos qual sinal de y interessa pela condição inicial.
Logo o primitivo do lado esquerdo é
y + \ln|y|.

Passo 5

Calculo agora o integral do lado direito:
\int x\,\operatorname{sen}x\,dx.
Para esse tipo de integral usamos integração por partes. Relembrando a fórmula de integração por partes: se escolhemos u=u(x) e dv=v'(x)\,dx, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Tomamos u = x e dv = \operatorname{sen}x\,dx. Então du = dx e v = -\cos x (porque \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x). Aplicando:
\int x\,\operatorname{sen}x\,dx = x\cdot(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
E \int \cos x\,dx = \sin x. Portanto
\int x\,\operatorname{sen}x\,dx = -x\cos x + \sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Igualando os dois primitivos (esquecendo momentaneamente a constante):
y + \ln|y| = -x\cos x + \sin x + C.
Esta é a solução geral na forma implícita, com a constante C ainda a determinar pela condição inicial.

Passo 7

Agora aplico a condição inicial y(0)=1 para encontrar C. Substituo x=0 e y=1 na equação implícita:
No lado esquerdo:
y + \ln|y| \bigg|_{y=1} = 1 + \ln|1| = 1 + 0 = 1.
No lado direito:
-x\cos x + \sin x + C \bigg|_{x=0} = -0\cdot\cos 0 + \sin 0 + C = 0 + 0 + C = C.
Igualando: 1 = C. Assim a constante vale C=1.

Passo 8

Substituindo C=1 na solução implícita obtemos:
y + \ln|y| = -x\cos x + \sin x + 1.
Como a condição inicial tem y(0)=1>0 e a equação é contínua, a solução localmente mantém y>0; portanto pode-se remover o valor absoluto e escrever \ln y se desejar. Mas a forma implícita correta e completa é a que usa \ln|y| se quisermos ser completamente gerais.

Resposta

y + \ln|y| = -x\cos x + \sin x + 1

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