Mostre que o problema geral de interpolação polinomial com n+1 nós interpoladores recai em um sistema linear com matriz de Vandermonde de ordem n+1.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos\n
Pedido: mostrar que o problema geral de interpolação polinomial com n+1 nós interpoladores “recai” (ou seja, se reduz) a um sistema linear cuja matriz é a matriz de Vandermonde de ordem n+1.\n
Dados relevantes (assumidos no enunciado padrão de interpolação): temos n+1 pontos distintos chamados nós \left(x_0,y_0\right),\left(x_1,y_1\right),\dots,\left(x_n,y_n\right), onde cada \,x_i é um número (os abscissas) e cada \,y_i é o valor desejado do polinômio no nó x_i.\n
Objetivo explícito: escrever as condições de interpolação p(x_i)=y_i em forma de sistema linear para os coeficientes do polinômio desconhecido e identificar a matriz desse sistema.\n
(Pronto: agora sabemos exatamente o que precisamos demonstrar e quais informações o enunciado fornece.)
Passo 2
Representação do polinômio incógnita e significado das incógnitas\n
Escolhemos representar o polinômio incógnita p na base monomial padrão, isto é, assumimos que existe um polinômio de grau no máximo n da forma
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n.
Explicação dos símbolos: cada a_j (para j=0,\dots,n) é um coeficiente desconhecido que queremos determinar; a expressão acima diz que p(x) é uma combinação linear das funções 1,x,x^2,\dots,x^n.\n
Por que essa representação? Porque qualquer polinômio de grau \le n pode ser escrita dessa forma — os a_j são exatamente as incógnitas que fixam o polinômio.
Passo 3
Escrever as condições de interpolação como equações lineares\n
A condição de interpolação pede p(x_i)=y_i para cada i=0,1,\dots,n.\n
Substituindo a representação de p em cada condição obtemos, para cada i,
a_0+a_1x_i+a_2x_i^2+\cdots+a_nx_i^n = y_i.
Aqui cada equação é linear nos coeficientes a_0,a_1,\dots,a_n: note que os x_i e y_i são dados conhecidos e aparecem como coeficientes e termos independentes.
Passo 4
Organizar as equações em forma matricial e identificar a matriz\n
Colocando todas as n+1 equações juntas em forma matricial obtemos
Explicando: a primeira matriz é construída linha a linha a partir dos nós \,x_i: a linha i (contando a partir de 0) é (1, x_i, x_i^2, \dots, x_i^n). As incógnitas ficam no vetor coluna (a_0,\dots,a_n)^T e o lado direito é o vetor de observações (y_0,\dots,y_n)^T.\n
Nome dessa matriz: a matriz à esquerda é a matriz de Vandermonde de ordem n+1 associada aos nós x_0,\dots,x_n. Em notação compacta chamamos essa matriz de V com entradas
V_{ij}=x_i^j,\qquad i=0,\dots,n,\; j=0,\dots,n.]
Passo 5
Concluir que a interpolação recai em um sistema linear com matriz de Vandermonde\n
Resumo lógico: exigir p(x_i)=y_i transforma o problema de encontrar o polinômio p na resolução do sistema linear matricial
V\mathbf{a}=\mathbf{y},
onde V é a matriz de Vandermonde definida por V_{ij}=x_i^j, \mathbf{a}=(a_0,\dots,a_n)^T e \mathbf{y}=(y_0,\dots,y_n)^T.\n
Portanto, mostramos exatamente que o problema se reduz a um sistema linear cuja matriz é a matriz de Vandermonde de ordem n+1.
Passo 6
Observação importante sobre unicidade (por que a redução resolve o problema na prática)\n
Para saber se esse sistema tem solução única, precisamos saber se V é invertível. Uma propriedade clássica da matriz de Vandermonde é a fórmula do determinante:
Explicação dessa fórmula (intuição didática): o determinante é um polinômio anti-simétrico nas variáveis x_0,\dots,x_n e fica nulo se dois x's coincidem; daí ele tem todos os fatores (x_j-x_i) e o coeficiente líder é 1, o que dá exatamente o produto acima. (Se quiser eu mostro a prova por construção de um polinômio auxiliar e por contagem de grau passo a passo.)\n
Consequência prática: se os nós x_0,\dots,x_n são todos distintos, então \det(V)\neq 0, logo V é inversível, então o sistema V\mathbf{a}=\mathbf{y} tem solução única — isto é, existe um único polinômio de grau \le n que interpola os dados.\n
Se dois nós coincidem (por exemplo x_i=x_j com i\ne j) então \det(V)=0 e o sistema pode não ter solução única (ou sequer solução); por isso a hipótese de nós distintos é padrão.
Passo 7
Exemplo concreto pequeno para fixar a ideia (caso n=2\))\n
- Seja \(n=2\). Temos três nós \((x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)\). O polinômio tem forma \(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\).\n
- As equações são
\[\begin{cases} a_0+a_1x_0+a_2x_0^2=y_0,\\[4pt] a_0+a_1x_1+a_2x_1^2=y_1,\\[4pt] a_0+a_1x_2+a_2x_2^2=y_2, \end{cases}
Determinante: \det(V)=(x_1-x_0)(x_2-x_0)(x_2-x_1)\]. Se \(x_0,x_1,x_2 são distintos, há solução única para (a_0,a_1,a_2) e, portanto, um único polinômio interpolador de grau \le 2.\n
Comentário prático: na prova, ao ver um pedido de interpolação com n+1 nós, é suficiente escrever o polinômio em base monomial, substituir nos nós e reconhecer a forma matricial acima — isto mostra imediatamente que a matriz envolvida é a Vandermonde.]
Resposta
A interpolação polinomial com n+1 nós \left(x_i,y_i\right) leva ao sistema linear
V\mathbf{a}=\mathbf{y},
onde V é a matriz de Vandermonde de ordem n+1 com entradas V_{ij}=x_i^j, \mathbf{a}=(a_0,\dots,a_n)^T são os coeficientes do polinômio p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n e \mathbf{y}=(y_0,\dots,y_n)^T. Além disso,