Mostre que o problema geral de interpolação polinomial com n+1 nós interpoladores recai em um sistema linear com matriz de Vandermonde de ordem n+1.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos\n
  • Pedido: mostrar que o problema geral de interpolação polinomial com n+1 nós interpoladores “recai” (ou seja, se reduz) a um sistema linear cuja matriz é a matriz de Vandermonde de ordem n+1.\n
  • Dados relevantes (assumidos no enunciado padrão de interpolação): temos n+1 pontos distintos chamados nós \left(x_0,y_0\right),\left(x_1,y_1\right),\dots,\left(x_n,y_n\right), onde cada \,x_i é um número (os abscissas) e cada \,y_i é o valor desejado do polinômio no nó x_i.\n
  • Objetivo explícito: escrever as condições de interpolação p(x_i)=y_i em forma de sistema linear para os coeficientes do polinômio desconhecido e identificar a matriz desse sistema.\n
    (Pronto: agora sabemos exatamente o que precisamos demonstrar e quais informações o enunciado fornece.)

Passo 2

Representação do polinômio incógnita e significado das incógnitas\n
  • Escolhemos representar o polinômio incógnita p na base monomial padrão, isto é, assumimos que existe um polinômio de grau no máximo n da forma
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n.
  • Explicação dos símbolos: cada a_j (para j=0,\dots,n) é um coeficiente desconhecido que queremos determinar; a expressão acima diz que p(x) é uma combinação linear das funções 1,x,x^2,\dots,x^n.\n
  • Por que essa representação? Porque qualquer polinômio de grau \le n pode ser escrita dessa forma — os a_j são exatamente as incógnitas que fixam o polinômio.

Passo 3

Escrever as condições de interpolação como equações lineares\n
  • A condição de interpolação pede p(x_i)=y_i para cada i=0,1,\dots,n.\n
  • Substituindo a representação de p em cada condição obtemos, para cada i,
a_0+a_1x_i+a_2x_i^2+\cdots+a_nx_i^n = y_i.
  • Aqui cada equação é linear nos coeficientes a_0,a_1,\dots,a_n: note que os x_i e y_i são dados conhecidos e aparecem como coeficientes e termos independentes.

Passo 4

Organizar as equações em forma matricial e identificar a matriz\n
  • Colocando todas as n+1 equações juntas em forma matricial obtemos
\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\[4pt] 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n\\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\[4pt] a_1\\[4pt] \vdots\\[4pt] a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_0\\[4pt] y_1\\[4pt] \vdots\\[4pt] y_n \end{pmatrix}.
  • Explicando: a primeira matriz é construída linha a linha a partir dos nós \,x_i: a linha i (contando a partir de 0) é (1, x_i, x_i^2, \dots, x_i^n). As incógnitas ficam no vetor coluna (a_0,\dots,a_n)^T e o lado direito é o vetor de observações (y_0,\dots,y_n)^T.\n
  • Nome dessa matriz: a matriz à esquerda é a matriz de Vandermonde de ordem n+1 associada aos nós x_0,\dots,x_n. Em notação compacta chamamos essa matriz de V com entradas
V_{ij}=x_i^j,\qquad i=0,\dots,n,\; j=0,\dots,n.]

Passo 5

Concluir que a interpolação recai em um sistema linear com matriz de Vandermonde\n
  • Resumo lógico: exigir p(x_i)=y_i transforma o problema de encontrar o polinômio p na resolução do sistema linear matricial
V\mathbf{a}=\mathbf{y},
onde V é a matriz de Vandermonde definida por V_{ij}=x_i^j, \mathbf{a}=(a_0,\dots,a_n)^T e \mathbf{y}=(y_0,\dots,y_n)^T.\n
  • Portanto, mostramos exatamente que o problema se reduz a um sistema linear cuja matriz é a matriz de Vandermonde de ordem n+1.

Passo 6

Observação importante sobre unicidade (por que a redução resolve o problema na prática)\n
  • Para saber se esse sistema tem solução única, precisamos saber se V é invertível. Uma propriedade clássica da matriz de Vandermonde é a fórmula do determinante:
\det(V)=\prod_{0\le i<j\le n}\left(x_j-x_i\right).
  • Explicação dessa fórmula (intuição didática): o determinante é um polinômio anti-simétrico nas variáveis x_0,\dots,x_n e fica nulo se dois x's coincidem; daí ele tem todos os fatores (x_j-x_i) e o coeficiente líder é 1, o que dá exatamente o produto acima. (Se quiser eu mostro a prova por construção de um polinômio auxiliar e por contagem de grau passo a passo.)\n
  • Consequência prática: se os nós x_0,\dots,x_n são todos distintos, então \det(V)\neq 0, logo V é inversível, então o sistema V\mathbf{a}=\mathbf{y} tem solução única — isto é, existe um único polinômio de grau \le n que interpola os dados.\n
  • Se dois nós coincidem (por exemplo x_i=x_j com i\ne j) então \det(V)=0 e o sistema pode não ter solução única (ou sequer solução); por isso a hipótese de nós distintos é padrão.

Passo 7

Exemplo concreto pequeno para fixar a ideia (caso n=2\))\n - Seja \(n=2\). Temos três nós \((x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)\). O polinômio tem forma \(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\).\n - As equações são \[\begin{cases} a_0+a_1x_0+a_2x_0^2=y_0,\\[4pt] a_0+a_1x_1+a_2x_1^2=y_1,\\[4pt] a_0+a_1x_2+a_2x_2^2=y_2, \end{cases}
ou em forma matricial
\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2\\[4pt] 1 & x_1 & x_1^2\\[4pt] 1 & x_2 & x_2^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\[4pt] a_1\\[4pt] a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_0\\[4pt] y_1\\[4pt] y_2 \end{pmatrix}.
  • Determinante: \det(V)=(x_1-x_0)(x_2-x_0)(x_2-x_1)\]. Se \(x_0,x_1,x_2 são distintos, há solução única para (a_0,a_1,a_2) e, portanto, um único polinômio interpolador de grau \le 2.\n
  • Comentário prático: na prova, ao ver um pedido de interpolação com n+1 nós, é suficiente escrever o polinômio em base monomial, substituir nos nós e reconhecer a forma matricial acima — isto mostra imediatamente que a matriz envolvida é a Vandermonde.]

Resposta

A interpolação polinomial com n+1 nós \left(x_i,y_i\right) leva ao sistema linear
V\mathbf{a}=\mathbf{y},
onde V é a matriz de Vandermonde de ordem n+1 com entradas V_{ij}=x_i^j, \mathbf{a}=(a_0,\dots,a_n)^T são os coeficientes do polinômio p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n e \mathbf{y}=(y_0,\dots,y_n)^T. Além disso,
\det(V)=\prod_{0\le i<j\le n}\left(x_j-x_i\right),
portanto, se os x_i são distintos, V é invertível e existe uma única solução (único polinômio interpolador de grau \le n).

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