O problema da interpolação polinomial consiste no seguinte: dados um conjunto com n+1 números (chamados de nós da interpolação) \left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}, e um conjunto de valores, não necessariamente distintos, (chamados de valores nodais) \left\{y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right\}, determinar um polinômio p(x), de grau no máximo n, tal que
p\left(x_{i}\right)=y_{i} \quad \forall i
Use o exercício anterior para determinar o polinômio de grau no máximo 2 que interpola a seguinte tabela de dados .
x
y
0.1
1.221
0.6
3.320
0.8
4.953
Mais precisamente, mostre que a determinação deste polinômio pode ser modelado por um sistema linear cuja matriz dos coeficientes é uma matriz de Vandermonde de ordem 3 e, a partir daí, obtenha o polinômio.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um polinômio p(x) de grau no máximo 2 que satisfaça as condições de interpolação dadas pela tabela:
\begin{array}{r|l} x & y \\\ \hline 0{,}1 & 1{,}221\\\\ 0{,}6 & 3{,}320\\\\ 0{,}8 & 4{,}953 \end{array}
Informações relevantes que temos:
Os nós (valores de x) são \,x_{0}=0{,}1,\;x_{1}=0{,}6,\;x_{2}=0{,}8.
Os valores nodais (valores de y) são \,y_{0}=1{,}221,\;y_{1}=3{,}320,\;y_{2}=4{,}953.
Queremos um polinômio p(x) com grau no máximo 2 tal que p(x_{i})=y_{i} para i=0,1,2.
O enunciado pede explicitamente mostrar o modelo como um sistema linear cuja matriz é uma matriz de Vandermonde de ordem 3 e, a partir disso, obter o polinômio.
Passo 2
Escolhemos a forma geral do polinômio de grau \le 2:
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},
onde a_{0},a_{1},a_{2} são os coeficientes desconhecidos que vamos determinar. Para cada nó x_{i} impomos p(x_{i})=y_{i}; isso gera um sistema linear em a_{0},a_{1},a_{2}.
A matriz de coeficientes que aparece naturalmente ao escrever essas três equações tem linhas [1,\;x_{i},\;x_{i}^{2}]. Essa matriz é a matriz de Vandermonde de ordem 3:
Explicando bem devagar: cada linha corresponde a uma condição a_{0}+a_{1}x_{i}+a_{2}x_{i}^{2}=y_{i}. A razão de usar essa forma é que, se os x_{i} são distintos, a matriz de Vandermonde é invertível e o sistema tem solução única — portanto existe um único polinômio de grau \le 2 que interpola os três pontos.]
Passo 3
Agora substituímos os valores numéricos da tabela para escrever o sistema. Usando \,x_{0}=0{,}1,\;x_{1}=0{,}6,\;x_{2}=0{,}8 e \,y_{0}=1{,}221,\;y_{1}=3{,}320,\;y_{2}=4{,}953, obtemos o sistema em forma matricial:
Para evitar ficar carregando muitos decimais durante as operações, multiplico todas as equações por 1000\) (isso é só uma facilidade algébrica, não altera as soluções). Multiplicando, obtemos um sistema equivalente com coeficientes inteiros:
\[\begin{cases} 1000a_{0}+100a_{1}+10a_{2}=1221,\\[4pt] 1000a_{0}+600a_{1}+360a_{2}=3320,\\[4pt] 1000a_{0}+800a_{1}+640a_{2}=4953. \end{cases}
Agora eliminamos a_{0}\] subtraindo a primeira equação das outras duas (isso corresponde a usar operação elementar de linhas na matriz — técnica de eliminação de Gauss). Fazendo \[\text{Eq2}-\text{Eq1} e \text{Eq3}-\text{Eq1} obtemos:
Observe que estas duas equações são um sistema 2\times2\] para \(a_{1} e a_{2}.]
Passo 5
Resolvemos o sistema 2\times2\). Uma maneira direta é eliminar \(a_{1}\). Multiplico a primeira equação por \(7\) e a segunda por \(5\) para obter o mesmo coeficiente para \(a_{1}\):
\[\begin{cases} 3500a_{1}+2450a_{2}=14693\quad(\text{primeira}\times 7),\\[4pt] 3500a_{1}+3150a_{2}=18660\quad(\text{segunda}\times 5). \end{cases}
Agora subtraio a primeira da segunda para eliminar a_{1}\]:
\[(3500-3500)a_{1}+(3150-2450)a_{2}=18660-14693,\]
ou seja
\[700a_{2}=3967.\]
Logo
\[a_{2}=\frac{3967}{700}.\]
Agora voltamos a uma das equações do sistema \(2\times2, por exemplo 500a_{1}+350a_{2}=2099, e substituímos a_{2}:
500a_{1}+350\cdot\frac{3967}{700}=2099.
Note que 350\cdot\frac{3967}{700}=\frac{350}{700}\cdot 3967=\tfrac{1}{2}\cdot 3967=1983{,}5. Então
Agora voltamos a uma das equações originais (antes de multiplicar por 1000 ou a primeira da versão multiplicada) para encontrar a_{0}. Usando a equação escalada
1000a_{0}+100a_{1}+10a_{2}=1221,
substituímos a_{1}=\tfrac{231}{1000} e a_{2}=\tfrac{3967}{700}. Calculamos com cuidado:
Como checagem rápida (para nos dar confiança), podemos avaliar p(x) nos nós x=0{,}1,\;0{,}6,\;0{,}8 e verificar que retornam, respectivamente, 1{,}221,\;3{,}320,\;4{,}953 (essa verificação é simplesmente substituir os x_{i} e calcular; os cálculos foram feitos implicitamente ao montar e resolver o sistema).