O problema da interpolação polinomial consiste no seguinte: dados um conjunto com n+1 números (chamados de nós da interpolação) \left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}, e um conjunto de valores, não necessariamente distintos, (chamados de valores nodais) \left\{y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right\}, determinar um polinômio p(x), de grau no máximo n, tal que
p\left(x_{i}\right)=y_{i} \quad \forall i
Use o exercício anterior para determinar o polinômio de grau no máximo 2 que interpola a seguinte tabela de dados .
x y
0.1 1.221
0.6 3.320
0.8 4.953
Mais precisamente, mostre que a determinação deste polinômio pode ser modelado por um sistema linear cuja matriz dos coeficientes é uma matriz de Vandermonde de ordem 3 e, a partir daí, obtenha o polinômio.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um polinômio p(x) de grau no máximo 2 que satisfaça as condições de interpolação dadas pela tabela:
\begin{array}{r|l} x & y \\\ \hline 0{,}1 & 1{,}221\\\\ 0{,}6 & 3{,}320\\\\ 0{,}8 & 4{,}953 \end{array}
Informações relevantes que temos:
  • Os nós (valores de x) são \,x_{0}=0{,}1,\;x_{1}=0{,}6,\;x_{2}=0{,}8.
  • Os valores nodais (valores de y) são \,y_{0}=1{,}221,\;y_{1}=3{,}320,\;y_{2}=4{,}953.
  • Queremos um polinômio p(x) com grau no máximo 2 tal que p(x_{i})=y_{i} para i=0,1,2.
  • O enunciado pede explicitamente mostrar o modelo como um sistema linear cuja matriz é uma matriz de Vandermonde de ordem 3 e, a partir disso, obter o polinômio.

Passo 2

Escolhemos a forma geral do polinômio de grau \le 2:
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},
onde a_{0},a_{1},a_{2} são os coeficientes desconhecidos que vamos determinar. Para cada nó x_{i} impomos p(x_{i})=y_{i}; isso gera um sistema linear em a_{0},a_{1},a_{2}.
A matriz de coeficientes que aparece naturalmente ao escrever essas três equações tem linhas [1,\;x_{i},\;x_{i}^{2}]. Essa matriz é a matriz de Vandermonde de ordem 3:
V=\begin{pmatrix} 1 & x_{0} & x_{0}^{2}\\[4pt] 1 & x_{1} & x_{1}^{2}\\[4pt] 1 & x_{2} & x_{2}^{2} \end{pmatrix}.
Explicando bem devagar: cada linha corresponde a uma condição a_{0}+a_{1}x_{i}+a_{2}x_{i}^{2}=y_{i}. A razão de usar essa forma é que, se os x_{i} são distintos, a matriz de Vandermonde é invertível e o sistema tem solução única — portanto existe um único polinômio de grau \le 2 que interpola os três pontos.]

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos da tabela para escrever o sistema. Usando \,x_{0}=0{,}1,\;x_{1}=0{,}6,\;x_{2}=0{,}8 e \,y_{0}=1{,}221,\;y_{1}=3{,}320,\;y_{2}=4{,}953, obtemos o sistema em forma matricial:
\begin{pmatrix} 1 & 0{,}1 & 0{,}1^{2}\\[4pt] 1 & 0{,}6 & 0{,}6^{2}\\[4pt] 1 & 0{,}8 & 0{,}8^{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\\[4pt] a_{1}\\[4pt] a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1{,}221\\[4pt] 3{,}320\\[4pt] 4{,}953\end{pmatrix}.
Calculando os quadrados \,0{,}1^{2}=0{,}01,\;0{,}6^{2}=0{,}36,\;0{,}8^{2}=0{,}64, escrevemos explicitamente as três equações:
\begin{cases} a_{0}+0{,}1\,a_{1}+0{,}01\,a_{2}=1{,}221,\\[4pt] a_{0}+0{,}6\,a_{1}+0{,}36\,a_{2}=3{,}320,\\[4pt] a_{0}+0{,}8\,a_{1}+0{,}64\,a_{2}=4{,}953. \end{cases}]

Passo 4

Para evitar ficar carregando muitos decimais durante as operações, multiplico todas as equações por 1000\) (isso é só uma facilidade algébrica, não altera as soluções). Multiplicando, obtemos um sistema equivalente com coeficientes inteiros: \[\begin{cases} 1000a_{0}+100a_{1}+10a_{2}=1221,\\[4pt] 1000a_{0}+600a_{1}+360a_{2}=3320,\\[4pt] 1000a_{0}+800a_{1}+640a_{2}=4953. \end{cases}
Agora eliminamos a_{0}\] subtraindo a primeira equação das outras duas (isso corresponde a usar operação elementar de linhas na matriz — técnica de eliminação de Gauss). Fazendo \[\text{Eq2}-\text{Eq1} e \text{Eq3}-\text{Eq1} obtemos:
\begin{cases} 500a_{1}+350a_{2}=2099,\\[4pt] 700a_{1}+630a_{2}=3732. \end{cases}
Observe que estas duas equações são um sistema 2\times2\] para \(a_{1} e a_{2}.]

Passo 5

Resolvemos o sistema 2\times2\). Uma maneira direta é eliminar \(a_{1}\). Multiplico a primeira equação por \(7\) e a segunda por \(5\) para obter o mesmo coeficiente para \(a_{1}\): \[\begin{cases} 3500a_{1}+2450a_{2}=14693\quad(\text{primeira}\times 7),\\[4pt] 3500a_{1}+3150a_{2}=18660\quad(\text{segunda}\times 5). \end{cases}
Agora subtraio a primeira da segunda para eliminar a_{1}\]: \[(3500-3500)a_{1}+(3150-2450)a_{2}=18660-14693,\] ou seja \[700a_{2}=3967.\] Logo \[a_{2}=\frac{3967}{700}.\] Agora voltamos a uma das equações do sistema \(2\times2, por exemplo 500a_{1}+350a_{2}=2099, e substituímos a_{2}:
500a_{1}+350\cdot\frac{3967}{700}=2099.
Note que 350\cdot\frac{3967}{700}=\frac{350}{700}\cdot 3967=\tfrac{1}{2}\cdot 3967=1983{,}5. Então
500a_{1}=2099-1983{,}5=115{,}5,
portanto
a_{1}=\frac{115{,}5}{500}=0{,}231=\frac{231}{1000}.]

Passo 6

Agora voltamos a uma das equações originais (antes de multiplicar por 1000 ou a primeira da versão multiplicada) para encontrar a_{0}. Usando a equação escalada
1000a_{0}+100a_{1}+10a_{2}=1221,
substituímos a_{1}=\tfrac{231}{1000} e a_{2}=\tfrac{3967}{700}. Calculamos com cuidado:
100a_{1}=100\cdot\frac{231}{1000}=\frac{231}{10}=23{,}1,
10a_{2}=10\cdot\frac{3967}{700}=\frac{3967}{70}.
Passando tudo para o mesmo denominador (ou calculando decimalmente com exatidão racional), obtemos
1000a_{0}=1221-23{,}1-\frac{3967}{70}.
Colocando em fração comum e simplificando (passos algébricos feitos acima), conseguimos
1000a_{0}=\frac{79886}{70},
de onde
a_{0}=\frac{39943}{35000}.
Em decimal isso é a_{0}\approx 1{,}1412285714285714.

Passo 7

Reescrevendo os três coeficientes obtidos:
a_{0}=\frac{39943}{35000},\qquad a_{1}=\frac{231}{1000},\qquad a_{2}=\frac{3967}{700}.
Portanto o polinômio interpolador de grau no máximo 2 é
p(x)=\frac{39943}{35000}+\frac{231}{1000}\,x+\frac{3967}{700}\,x^{2}.
Como checagem rápida (para nos dar confiança), podemos avaliar p(x) nos nós x=0{,}1,\;0{,}6,\;0{,}8 e verificar que retornam, respectivamente, 1{,}221,\;3{,}320,\;4{,}953 (essa verificação é simplesmente substituir os x_{i} e calcular; os cálculos foram feitos implicitamente ao montar e resolver o sistema).

Resposta

p(x)=\frac{39943}{35000}+\frac{231}{1000}\,x+\frac{3967}{700}\,x^{2}.

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