Use a Regra de Cramer para determinar o valor de k que faz com que o sistema abaixo seja indeterminado
\left\{\begin{array}{l} x-y-z=0 \\ 2 x+k y+2 z=0 \\ x-2 y-2 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de k que faz com que o sistema
\left\{\begin{array}{l} x-y-z=0 \\[4pt] 2x+k y+2z=0 \\[4pt] x-2y-2z=0 \end{array}\right.
seja indeterminado (ou seja, tenha infinitas soluções). Informações dadas: as três equações lineares homogêneas com incógnitas x,y,z e parâmetro k.]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial \,A\mathbf{x}=0, onde \mathbf{x}=(x,y,z)^{T} e a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] 2 & k & 2\\[4pt] 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
Anotei explicitamente cada linha da matriz a partir das equações do enunciado.]

Passo 3

Breve aula sobre a Regra de Cramer aplicada aqui (com tom prático): para um sistema linear homogêneo \,A\mathbf{x}=0,
  • se \det(A)\neq0, então a única solução é a trivial \mathbf{x}=0 (sistema determinado e solução única);
  • se \det(A)=0, então existem soluções não-triviais e, por ser homogêneo, isso implica infinitas soluções (sistema indeterminado).
    Portanto, para que o sistema seja indeterminado basta achar k tal que \det(A)=0. Vou calcular \det(A) passo a passo.

Passo 4

Calculamos o determinante de A por expansão pela primeira linha (uso a fórmula com cofatores). Sejam os elementos da primeira linha a_{11}=1, a_{12}=-1, a_{13}=-1. Os menores correspondentes são:
M_{11}=\begin{pmatrix}k & 2 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix},\qquad M_{12}=\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 1 & -2\end{pmatrix},\qquad M_{13}=\begin{pmatrix}2 & k \\\\ 1 & -2\end{pmatrix}.
Calculo os determinantes desses menores:
\det(M_{11})=k\cdot(-2)-2\cdot(-2)=-2k+4=4-2k,
\det(M_{12})=2\cdot(-2)-2\cdot1=-4-2=-6,
\det(M_{13})=2\cdot(-2)-k\cdot1=-4-k=-(k+4).

Passo 5

Usando a expansão pelo elemento da primeira linha com o padrão de sinais +,-,+,
\det(A)=a_{11}\det(M_{11})-a_{12}\det(M_{12})+a_{13}\det(M_{13}).
Substituindo os valores:
\det(A)=1\cdot(4-2k)-(-1)\cdot(-6)+(-1)\cdot\bigl(-(k+4)\bigr).
Agora simplifico termo a termo:
\det(A)=4-2k -6 + (k+4).
Agrupando constantes e termos em k:
\det(A)=(4-6+4)+(-2k+k)=2 - k.

Passo 6

Para que o sistema seja indeterminado precisamos de \det(A)=0. Assim:
2-k=0 \quad\Rightarrow\quad k=2.
Como verificação didática: se k=2 o sistema fica
\left\{\begin{array}{l} x-y-z=0 \\[4pt] 2x+2y+2z=0 \\[4pt] x-2y-2z=0 \end{array}\right.
uma solução não-trivial é, por exemplo, (x,y,z)=(0,1,-1) (verifique substituindo nas equações). Isso mostra que para k=2 há soluções não-triviais, logo infinitas soluções.]

Resposta

k=2

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