Mostre que a razão entre a diagonal e o lado de um pentágono regular convexo é igual a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num pentágono regular convexo de lado de comprimento
e diagonal de comprimento
, a razão
vale
. O conteúdo que usaremos é geometria plana e, em particular, a lei dos cossenos aplicada a um triângulo isósceles formado por dois lados do pentágono e uma diagonal.
Passo 2
Denotemos por
os vértices do pentágono regular e seja
o lado e
a diagonal. Considere o triângulo
. Ele é isósceles em
, com lados iguais
e base
. O ângulo interno do pentágono em
é
Passo 3
Aplique a lei dos cossenos em
:
Substituindo
e
, fica
Passo 4
Calcule
. Sabemos que
e como
e
, temos
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
Logo
Passo 6
Note que
Portanto
já que
e
.
Resposta
A razão entre a diagonal e o lado do pentágono regular convexo é