Mostre que a razão entre a diagonal e o lado de um pentágono regular convexo é igual a \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num pentágono regular convexo de lado de comprimento s e diagonal de comprimento d, a razão \tfrac{d}{s} vale \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}. O conteúdo que usaremos é geometria plana e, em particular, a lei dos cossenos aplicada a um triângulo isósceles formado por dois lados do pentágono e uma diagonal.

Passo 2

Denotemos por A,B,C,D,E os vértices do pentágono regular e seja s = AB = BC o lado e d = AC a diagonal. Considere o triângulo \triangle ABC. Ele é isósceles em B, com lados iguais AB=BC=s e base AC=d. O ângulo interno do pentágono em B é
\angle ABC = 108^\circ.

Passo 3

Aplique a lei dos cossenos em \triangle ABC:
d^2 = AB^2 + BC^2 - 2\,(AB)(BC)\cos(\angle ABC)
Substituindo AB=BC=s e \angle ABC=108^\circ, fica
d^2 = s^2 + s^2 - 2\,s^2\cos(108^\circ) = 2s^2\bigl(1 - \cos(108^\circ)\bigr).

Passo 4

Calcule \cos(108^\circ). Sabemos que
\cos(108^\circ) = \cos\bigl(180^\circ - 72^\circ\bigr) = -\cos(72^\circ),
e como \cos(72^\circ)=\sin(18^\circ) e \sin(18^\circ)=\tfrac{\sqrt{5}-1}{4}, temos
\cos(108^\circ) = -\,\frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{1-\sqrt{5}}{4}.

Passo 5

Substituindo em d^2 = 2s^2\bigl(1 - \cos(108^\circ)\bigr), obtemos
1 - \cos(108^\circ) = 1 - \frac{1-\sqrt{5}}{4} = \frac{4 - (1-\sqrt{5})}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}.
Logo
d^2 = 2s^2 \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{4} = s^2 \,\frac{3+\sqrt{5}}{2}.

Passo 6

Note que
\frac{3+\sqrt{5}}{2} = \Bigl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^{\!2}.
Portanto
d^2 = s^2 \Bigl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^{\!2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{s} = \frac{1+\sqrt{5}}{2},
já que d>0 e s>0.

Resposta

A razão entre a diagonal e o lado do pentágono regular convexo é
\frac{d}{s} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

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