Mostre que o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial euclidiano
. Considere a soma e multiplicação por um escalar como sendo a usual (Apresente todos os cálculos. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 2,0 ptos).
Condições
A1) O vetor
pertence a
.
A2) Seja
.
A3) Seja
e
.
Condições | |
A1) O vetor
|
|
A2) Seja
|
A3) Seja
|
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é subespaço de
.
Para isso vamos verificar as três propriedades:
A1) ,
A2) fechamento em relação à soma,
A3) fechamento em relação à multiplicação por escalar.
Para isso vamos verificar as três propriedades:
A1)
A2) fechamento em relação à soma,
A3) fechamento em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificando A1) (vetor zero)
O vetor zero em é
. Calculamos a soma de suas coordenadas:
O vetor zero em
Como a equação
fica satisfeita, temos
.
Passo 3
Verificando A2) (fechamento pela soma)
Sejam e
.
Pela definição de sabemos
Sejam
Pela definição de
Então
Somando as coordenadas desse vetor:
Logo
.
Passo 4
Verificando A3) (fechamento por escalar)
Seja e
.
Como , vale
Seja
Como
Multiplicando por
,
e a soma das coordenadas é
Portanto
.
Resposta
O conjunto
satisfaz A1, A2 e A3, logo é subespaço vetorial de
.