Mostre que o conjunto é um subespaço do espaço vetorial euclidiano . Considere a soma e multiplicação por um escalar como sendo a usual (Apresente todos os cálculos. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 2,0 ptos).
Condições
A1) O vetor pertence a .
A2) Seja . A3) Seja e .

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)in R^3 mid x + y + z = 0
e pede para mostrar que W é subespaço de R^3.
Para isso vamos verificar as três propriedades:
A1) 0in W,
A2) fechamento em relação à soma,
A3) fechamento em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando A1) (vetor zero)
O vetor zero em R^3 é (0,0,0). Calculamos a soma de suas coordenadas:
0 + 0 + 0 = 0
Como a equação x+y+z=0 fica satisfeita, temos (0,0,0)in W.

Passo 3

Verificando A2) (fechamento pela soma)
Sejam vec u = (x1,y1,z1)in W e vec v = (x2,y2,z2)in W.
Pela definição de W sabemos
x1 + y1 + z1 = 0 e x2 + y2 + z2 = 0
Então
vec u + vec v = (x1 + x2,;y1 + y2,;z1 + z2)
Somando as coordenadas desse vetor:
(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1+y1+z1) + (x2+y2+z2) = 0 + 0 = 0
Logo vec u + vec vin W.

Passo 4

Verificando A3) (fechamento por escalar)
Seja vec u = (x,y,z)in W e alphainR.
Como vec uin W, vale
x + y + z = 0
Multiplicando por alpha,
alphavec u = (alpha x,;alpha y,;alpha z),
e a soma das coordenadas é
alpha x + alpha y + alpha z = alpha,(x+y+z) = alphacdot 0 = 0
Portanto alphavec uin W.

Resposta

O conjunto W satisfaz A1, A2 e A3, logo é subespaço vetorial de R^3.

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