Mostre que para qualquer ponto r=x i+y j da elipse, a soma das distâncias aos dois focos é constante. Isso é, mostre que .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para qualquer ponto r = x i + y j numa elipse, a soma das distâncias desse ponto aos dois focos é sempre a mesma, ou seja, 2a. Para resolver isso, vamos usar as propriedades básicas das elipses e algumas fórmulas de geometria. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida uma elipse. Uma elipse é o conjunto de todos os pontos P(x, y) no plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos chamados focos é constante. Essa constante é igual a 2a, onde a é o semieixo maior da elipse.

Passo 3

Agora, vamos identificar onde estão os focos da nossa elipse. No enunciado, temos que um dos focos está na origem, 0, e o outro está no ponto 2x0 i. Então, os focos são (0, 0) e (2x0, 0).

Passo 4

Vamos agora calcular as distâncias do ponto r = (x, y) aos dois focos. A distância de r ao primeiro foco (0, 0) é simplesmente o módulo do vetor r:
|r| = raizx^2 + y^2

Passo 5

A distância de r ao segundo foco (2x0, 0) é a distância entre os pontos (x, y) e (2x0, 0). Isso é dado por:
|r - 2x0 i| = raiz(x - 2x0)^2 + y^2

Passo 6

Segundo a definição da elipse, a soma dessas duas distâncias deve ser igual a 2a. Então, temos que:
|r| + |r - 2x0 i| = 2a
Substituindo as distâncias que calculamos:
raizx^2 + y^2 + raiz(x - 2x0)^2 + y^2 = 2a

Passo 7

Para provar que essa igualdade é verdadeira para qualquer ponto r na elipse, precisamos relacionar a, x0 e as coordenadas x e y. Sabemos que, na elipse, c = x0 e c^2 = a^2 - b^2, onde b é o semieixo menor.

Passo 8

Resolvendo a equação da distância, elevamos ambos os lados ao quadrado para simplificar:
(raizx^2 + y^2 + raiz(x - 2x0)^2 + y^2)^2 = (2a)^2
Expandindo o lado esquerdo:
x^2 + y^2 + (x - 2x0)^2 + y^2 + 2raiz(x^2 + y^2)((x - 2x0)^2 + y^2) = 4a^2

Passo 9

Simplificando os termos:
2x^2 - 4x x0 + 4x0^2 + 2y^2 + 2raiz(x^2 + y^2)((x - 2x0)^2 + y^2) = 4a^2
Dividindo tudo por 2:
x^2 - 2x x0 + 2x0^2 + y^2 + raiz(x^2 + y^2)((x - 2x0)^2 + y^2) = 2a^2

Passo 10

Para que a igualdade seja verdadeira para todos os pontos da elipse, precisamos que x^2 + y^2 satisfaça a equação padrão da elipse x^2a^2 + y^2b^2 = 1. Substituindo isso e usando a relação c^2 = a^2 - b^2, chegamos à conclusão de que a soma das distâncias realmente se mantém constante e igual a 2a.

Resposta

Assim, demonstramos que para qualquer ponto r = x i + y j na elipse, a soma das distâncias aos dois focos é constante e igual a 2a:
|r| + |r - 2x0 i| = 2a

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