Explique porque, segundo Kepler, o resultado anterior demonstra que a fórmula obtida descreve a trajetória orbital dos planetas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar, segundo Kepler, por que o resultado que tivemos antes mostra que a fórmula que obtivemos descreve a trajetória orbital dos planetas. Vamos trabalhar com as Leis de Kepler da Movimento Planetário e entender como elas se aplicam aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das Três Leis de Kepler:
  1. Lei das Órbitas: Os planetas se movem em órbitas elípticas com o Sol em um dos focos.
  2. Lei das Áreas: Uma linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.
  3. Lei dos Períodos: O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo da distância média ao Sol.

Passo 3

Agora, suponha que o “resultado anterior” seja uma equação que descreve uma órbita elíptica, algo como:
r(theta) = a(1 - e^2)1 + e cos theta
Aqui, $ r(\theta) $ é a distância do planeta ao Sol em função do ângulo $ \theta $, $ a $ é o semi-eixo maior da elipse, e $ e $ é a excentricidade.

Passo 4

De acordo com a Primeira Lei de Kepler, os planetas seguem trajetórias elípticas com o Sol em um dos focos. A equação que temos aí é justamente a equação polar de uma elipse com um foco na origem (onde está o Sol). Isso já mostra que a trajetória é compatível com a primeira lei.

Passo 5

Além disso, a Segunda Lei de Kepler garante que a velocidade do planeta varia de maneira que a linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. A forma da equação que temos assegura que, conforme o planeta se move ao longo da elipse, essa condição de área varrida é satisfeita, mantendo a consistência com a segunda lei.

Passo 6

Por fim, a Terceira Lei de Kepler relaciona o período orbital com a distância média ao Sol. A fórmula obtida está de acordo com essa lei, já que os parâmetros da elipse (como o semi-eixo maior $ a $) estão diretamente ligados ao período do planeta.

Resposta

Então, segundo Kepler, o resultado que obtivemos confirma que a fórmula descreve corretamente a trajetória orbital dos planetas, pois está alinhada com as três Leis de Movimento Planetário que ele estabeleceu.

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