Mostre que se r \in \mathbb{Q}, r \neq 0 e x \notin \mathbb{Q} então r+x \notin \mathbb{Q} e r \cdot x \notin \mathbb{Q}.

Passo 1

O enunciado quer mostrar duas coisas para r\in\mathbb{Q} com r\neq0 e x\notin\mathbb{Q}:
  1. r + x\notin\mathbb{Q}.
  2. r\cdot x\notin\mathbb{Q}.
    O conteúdo é teoria dos números reais, em particular propriedades de fechamento dos racionais e prova por contradição.

Passo 2

Prova de r+x\notin\mathbb{Q} por contradição. Suponha, para buscar contradição, que
r + x \in \mathbb{Q}.
Como r\in\mathbb{Q} e a diferença de dois racionais é racional, teríamos
x = (r + x) - r \in \mathbb{Q}.
Isto contraria a hipótese x\notin\mathbb{Q}. Logo, a suposição estava errada e
r + x \notin \mathbb{Q}.

Passo 3

Prova de r\cdot x\notin\mathbb{Q} por contradição. Suponha, para buscar contradição, que
r\cdot x \in \mathbb{Q}.
Como r\neq0 e r\in\mathbb{Q}, o inverso r^{-1} também está em \mathbb{Q}. Então
x = r^{-1}\,(r\cdot x)\in\mathbb{Q},
pois produto de racionais é racional. Isso contradiz x\notin\mathbb{Q}. Assim,
r\cdot x \notin \mathbb{Q}.

Resposta

Ficou demonstrado que, sempre que r\in\mathbb{Q}, r\neq0 e x\notin\mathbb{Q}, então
r + x\notin\mathbb{Q} \quad\text{e}\quad r\cdot x\notin\mathbb{Q}.

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