Mostre que se
e
então
e
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar duas coisas para
com
e
:
-
. -
.
O conteúdo é teoria dos números reais, em particular propriedades de fechamento dos racionais e prova por contradição.
Passo 2
Prova de
por contradição. Suponha, para buscar contradição, que
Como
e a diferença de dois racionais é racional, teríamos
Isto contraria a hipótese
. Logo, a suposição estava errada e
Passo 3
Prova de
por contradição. Suponha, para buscar contradição, que
Como
e
, o inverso
também está em
. Então
pois produto de racionais é racional. Isso contradiz
. Assim,
Resposta
Ficou demonstrado que, sempre que
,
e
, então