Muitas vezes o símbolo matemático de implicação "
Rightarrow " é usado de forma errônea como se fosse um símbolo de igualdade "
". O símbolo de igualdade denota objetos/expressões literalmente iguais, enquanto o símbolo de implicação é utilizado para indicar quando uma determinada verdade ou propriedade implica outra. Por exemplo:
- Pode-se escrever x+1=3
Rightarrow x=2 mas não é correto escrever x+1=3= x=2;
- pode-se escrever x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2} mas não é correto escrever x^{2}+2 x+ 1
Rightarrow(x+1)^{2}, uma vez que as expressões soltas " x^{2}+2 x+1 " e " (x+1)^{2} " não são verdades ou propriedades em si.
Em cada um dos casos a seguir, reescreva de forma correta a solução do exercício dado. Lembre-se que uma solução matemática também é uma redação e, portanto, deve estar coesa e coerente. Leia sua demonstração em voz alta da forma como está escrita e, caso necessário, acrescente elementos para tornala mais compreensível. Lembre-se que expressões simples - “logo”, “portanto”, “então”, “assim”, “concluímos que”, “Sabendo que”, “Queremos demonstrar que…” , etc - já auxiliam muito na compreensão e bom encadeamento lógico da solução.
Ex: Cálcule todos os valores de x para os quais
\frac{x^{4}-4 x{2}+4}{(x-\sqrt{2}){2}}=5.
Solução:
\frac{x^{4}-4 x{2}+4}{(x-\sqrt{2}){2}} \Rightarrow \frac{\left(x{2}-2\right){2}}{(x-\sqrt{2})^{2}} \Rightarrow \frac{(x-\sqrt{2}){2}(x+\sqrt{2}){2}}{(x-\sqrt{2})^{2}} \Rightarrow(x+\sqrt{2})^{2}=5 \Rightarrow \pm \sqrt{5}-\sqrt{2} .
Rightarrow " é usado de forma errônea como se fosse um símbolo de igualdade "
Rightarrow x=2 mas não é correto escrever x+1=3= x=2;
Rightarrow(x+1)^{2}, uma vez que as expressões soltas " x^{2}+2 x+1 " e " (x+1)^{2} " não são verdades ou propriedades em si.
Ex: Cálcule todos os valores de x para os quais
\frac{x^{4}-4 x{2}+4}{(x-\sqrt{2}){2}}=5.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os valores de
tais que
O conteúdo envolvido é manipulação de expressões algébricas e resolução de equações, além de cuidado com o domínio (denominador não nulo).
Passo 2
Começamos observando o numerador:
Assim, reescrevemos a equação como
Passo 3
Fatoramos
em termos de raízes:
logo
Passo 4
Como
para manter o denominador diferente de zero, podemos simplificar
em numerador e denominador, obtendo
Passo 5
Tomando raiz quadrada em ambos os lados, temos
Portanto,
Resposta
As soluções da equação são