Muitas vezes o símbolo matemático de implicação "
Rightarrow " é usado de forma errônea como se fosse um símbolo de igualdade "

". O símbolo de igualdade denota objetos/expressões literalmente iguais, enquanto o símbolo de implicação é utilizado para indicar quando uma determinada verdade ou propriedade implica outra. Por exemplo:
  • Pode-se escrever x+1=3
    Rightarrow x=2 mas não é correto escrever x+1=3= x=2;
  • pode-se escrever x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2} mas não é correto escrever x^{2}+2 x+ 1
    Rightarrow(x+1)^{2}, uma vez que as expressões soltas " x^{2}+2 x+1 " e " (x+1)^{2} " não são verdades ou propriedades em si.
Em cada um dos casos a seguir, reescreva de forma correta a solução do exercício dado. Lembre-se que uma solução matemática também é uma redação e, portanto, deve estar coesa e coerente. Leia sua demonstração em voz alta da forma como está escrita e, caso necessário, acrescente elementos para tornala mais compreensível. Lembre-se que expressões simples - “logo”, “portanto”, “então”, “assim”, “concluímos que”, “Sabendo que”, “Queremos demonstrar que…” , etc - já auxiliam muito na compreensão e bom encadeamento lógico da solução.
Ex: Cálcule todos os valores de x para os quais
\frac{x^{4}-4 x{2}+4}{(x-\sqrt{2}){2}}=5.
Solução:
\frac{x^{4}-4 x{2}+4}{(x-\sqrt{2}){2}} \Rightarrow \frac{\left(x{2}-2\right){2}}{(x-\sqrt{2})^{2}} \Rightarrow \frac{(x-\sqrt{2}){2}(x+\sqrt{2}){2}}{(x-\sqrt{2})^{2}} \Rightarrow(x+\sqrt{2})^{2}=5 \Rightarrow \pm \sqrt{5}-\sqrt{2} .

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os valores de x tais que
\frac{x^{4}-4x^{2}+4}{(x-\sqrt{2})^{2}} = 5.
O conteúdo envolvido é manipulação de expressões algébricas e resolução de equações, além de cuidado com o domínio (denominador não nulo).

Passo 2

Começamos observando o numerador:
x^{4}-4x^{2}+4 = (x^{2}-2)^{2}.
Assim, reescrevemos a equação como
\frac{(x^{2}-2)^{2}}{(x-\sqrt{2})^{2}} = 5.

Passo 3

Fatoramos x^{2}-2 em termos de raízes:
x^{2}-2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}),
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\frac{(x-\sqrt{2})^{2}(x+\sqrt{2})^{2}}{(x-\sqrt{2})^{2}} = 5.

Passo 4

Como x\neq \sqrt{2} para manter o denominador diferente de zero, podemos simplificar (x-\sqrt{2})^{2} em numerador e denominador, obtendo
(x+\sqrt{2})^{2} = 5.

Passo 5

Tomando raiz quadrada em ambos os lados, temos
x + \sqrt{2} = \pm \sqrt{5}.
Portanto,
x = -\sqrt{2} \pm \sqrt{5}.

Resposta

As soluções da equação são
x = \sqrt{5} - \sqrt{2} \quad\text{e}\quad x = -\sqrt{5} - \sqrt{2}.

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