Mostre que desde um ponto exterior a uma circunferência existem dois segmentos tangentes a ela.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, dado um ponto exterior a uma circunferência, é possível traçar exatamente dois segmentos de reta que tocam a circunferência em um único ponto (são tangentes). O conteúdo é geometria de círculos e usaremos o Teorema de Thales e as propriedades de interseção de duas circunferências.

Passo 2

Seja a circunferência de centro O e raio r, e seja P um ponto exterior a ela, de modo que
|OP| > r.
Denotemos d = |OP|.
Construa a circunferência de diâmetro \overline{OP}. Seu centro é o ponto médio M de OP e seu raio é \tfrac{d}{2}. Agora considere as duas circunferências:
\mathcal{C}_1\colon\text{centro }O,\;\text{raio }r \qquad\text{e}\qquad \mathcal{C}_2\colon\text{centro }M,\;\text{raio }\tfrac{d}{2}.
Como d>r, tem-se
\bigl|\tfrac{d}{2}-r\bigr| < \tfrac{d}{2} < r + \tfrac{d}{2},
logo \mathcal{C}_1 e \mathcal{C}_2 se intersectam em dois pontos distintos, digamos Q_1 e Q_2.

Passo 3

Pelo Teorema de Thales, qualquer ponto Q sobre a circunferência de diâmetro OP faz com que o ângulo \angle OQP seja reto, isto é,
\angle OQ_iP = 90^\circ, \quad i=1,2.
Isso implica que em cada ponto Q_i o segmento \overline{PQ_i} é perpendicular ao raio \overline{OQ_i}, condição necessária e suficiente para ser tangente à circunferência \mathcal{C}_1.

Passo 4

Portanto, os dois pontos de interseção Q_1 e Q_2 geram exatamente dois segmentos \overline{PQ_1} e \overline{PQ_2} que são tangentes à circunferência dada, mostrando a existência de duas tangentes a partir de P.

Resposta

A partir de um ponto exterior P a uma circunferência de centro O e raio r existem exatamente dois segmentos tangentes a ela.

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