Mostre que a razão entre as velocidades de uma esfera maciça e um cilindro delgado que descem um plano inclinado é dada por
vesfvcil=raiz1514

Passo 1

Então vamos lá: o enunciado pede pra mostrar que, quando uma esfera maciça e um cilindro (sólido) rolarem sem deslizar por um plano inclinado, a razão das velocidades na base é
vesfvcil = raiz1514
O conteúdo aqui é conservação de energia mecânica aplicada a corpos em rotação sem deslizamento. Para resolver, precisamos
  1. saber escrever a energia potencial e cinética (translacional + rotacional);
  2. usar o momento de inércia da esfera ( ) e do cilindro sólido ( );
  3. aplicar a condição de rolamento sem deslizar ( ).

Passo 2

Conservação de energia: a energia inicial mgh = tfrac12,m,v^2 ;+;tfrac12,I,omega^2 e omega = vR vira energia cinética de translação ( ) mais cinética de rotação ( ). Então, para qualquer corpo que rola sem deslizar,

Passo 3

Esfera maciça:
  • Momento de inércia mgh = tfrac12,m,vesf^2 + tfrac12!l(tfrac25mR^2r)!l(tfracvesfRr)^2 = tfrac12,m,vesf^2 + tfrac15m,vesf^2 = tfrac710,m,vesf^2 .
  • Substituindo na equação de energia: vesf^2 = 107,gh Longrightarrow vesf = raiz107,gh
  • Então

Passo 4

Cilindro sólido:
  • Momento de inércia mgh = tfrac12,m,vcil^2 + tfrac12!l(tfrac12mR^2r)!l(tfracvcilRr)^2 = tfrac12,m,vcil^2 + tfrac14m,vcil^2 = tfrac34,m,vcil^2 .
  • Na conservação: vcil^2 = 43,gh Longrightarrow vcil = raiz43,gh
  • Logo

Passo 5

Agora a razão das velocidades:
vesfvcil = raiztfrac107,ghraiztfrac43,gh = raiz10/74/3 = raiz107cdot34 = raiz3028 = raiz1514

Resposta

boxedvesfvcil = raiz1514

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