Mostre que a razão entre as velocidades de uma esfera maciça e um cilindro delgado que descem um plano inclinado é dada por
Passo 1
Então vamos lá: o enunciado pede pra mostrar que, quando uma esfera maciça e um cilindro (sólido) rolarem sem deslizar por um plano inclinado, a razão das velocidades na base é
O conteúdo aqui é conservação de energia mecânica aplicada a corpos em rotação sem deslizamento. Para resolver, precisamos
- saber escrever a energia potencial e cinética (translacional + rotacional);
- usar o momento de inércia da esfera (
) e do cilindro sólido ( ); - aplicar a condição de rolamento sem deslizar (
).
Passo 2
Conservação de energia: a energia inicial
vira energia cinética de translação (
) mais cinética de rotação (
). Então, para qualquer corpo que rola sem deslizar,
Passo 3
Esfera maciça:
- Momento de inércia
. - Substituindo na equação de energia:
- Então
Passo 4
Cilindro sólido:
- Momento de inércia
. - Na conservação:
- Logo
Passo 5
Agora a razão das velocidades: