Mostre que, para uma região sem fontes ( rho=0 e J=0), um campo uniforme B=B0 sen omega t i não satisfaz as equações de Maxwell.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que estamos num pedaço de espaço sem carga nem corrente (ou seja, rho=0 e J=0) e que alguém propõe um campo magnético uniforme e só variando no tempo:
B(r,t)=B0sin(omega t),i,
O conteúdo aqui é Eletrodinâmica clássica, mais precisamente as equações de Maxwell no vácuo.
Para mostrar que esse B não pode existir, vamos precisar:
1. Das duas equações de Maxwell que envolvem B – Gauss para B e a Lei de Ampère–Maxwell.
2. Da Lei de Faraday (que relaciona evolução de B com o rotacional de E).

Passo 2

Primeiro, verifica se a Gauss para o campo magnético é satisfeita:
nablacdotB=0,
Como B é uniforme no espaço (depende só de t), temos
nablacdotl(B0sin(omega t),ir)=0,,
porque divergência de um campo constante (ou só temporal) é zero. Beleza, essa equação até bate.

Passo 3

Agora a Lei de Ampère–Maxwell em região livre diz:
nablatimesB=mu0,J+mu0varepsilon0,partialEpartial t,
Mas J=0, logo
nablatimesB=mu0varepsilon0,partialEpartial t,
Como B é uniforme em r, seu rotacional é zero:
nablatimesB=0LongrightarrowpartialEpartial t=0,
Isso significa que E não pode depender do tempo – teria que ser um campo elétrico estático.

Passo 4

Porém a Lei de Faraday diz:
nablatimesE=-,partialBpartial t,
Aqui o lado direito não é zero, porque
partialBpartial t=omega B0cos(omega t),i,
Logo
nablatimesE=-omega B0cos(omega t),i,,
que varia no tempo. Mas no Passo 3 concluímos que E não varia no tempo, então seu rotacional também não pode variar. Aí deu treta: o rotacional de E deveria ser função de t, mas E é fixo no tempo, impossível de conciliar.

Resposta

Mostramos que, para rho=0 e J=0, o campo
B=B0sin(omega t),i
faz a Lei de Ampère–Maxwell forçar partialtE=0, enquanto a Lei de Faraday exige um nablatimesE dependente de t. Isso é contraditório, logo esse B não satisfaz as equações de Maxwell.

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