Mostre que \Re\left[-i(2-3 i)^{3}\right]=-12

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a parte real de
-i\,(2 - 3i)^{3}
Isso envolve manipulação de números complexos: vamos usar a expansão de binômio para elevar 2-3i ao cubo e a identidade \,i^{2}=-1, depois multiplicar por -i e extrair a parte real do resultado.

Passo 2

Calculemos primeiro (2 - 3i)^{2}:
(2 - 3i)^{2} =2^{2}-2\cdot2\cdot3i+(3i)^{2} =4-12i+9\,i^{2} =4-12i-9 =-5-12i.
Em seguida,
(2 - 3i)^{3} =(2 - 3i)\,(2 - 3i)^{2} =(2 - 3i)\,(-5-12i).
Multiplicando:
(2 - 3i)\,(-5-12i) =2\cdot(-5)+2\cdot(-12i)-3i\cdot(-5)-3i\cdot(-12i) =-10-24i+15i+36\,i^{2} =-10-9i+36(-1) =-10-9i-36 =-46-9i.

Passo 3

Agora multipliquemos por -i:
-i\,(-46-9i) =(-i)\,(-46)+(-i)\,(-9i) =46i+9\,i^{2} =46i+9(-1) =-9+46i.

Passo 4

A parte real de -9+46i é simplesmente o coeficiente real, isto é,
\Re\bigl[-i\,(2-3i)^{3}\bigr]=-9.

Resposta

A conta mostra que
\Re\bigl[-i\,(2-3i)^{3}\bigr]=-9,
logo o valor -12 indicado no enunciado está incorreto.

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