Encontre argumento, forma polar, represente graficamente e opere na forma polar.
2. z=\frac{1-i \sqrt{3}}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo
z = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}
e pede:
– o módulo |z| e o argumento \arg(z),
– a forma polar de z,
– a representação gráfica de z no plano complexo,
– uma operação na forma polar (por exemplo, calcular z^2).

Passo 2

Vamos escrever z em termos de parte real a e imaginária b:
a = \frac12,\quad b = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
O módulo é
|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\Bigl(\frac12\Bigr)^2 + \Bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac14 + \frac34} = 1.

Passo 3

Para o argumento usamos
\tan(\theta) = \frac{b}{a} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac12} = -\sqrt{3}.
Como a>0 e b<0, z está no quarto quadrante, e a solução principal é
\theta = -\frac{\pi}{3} \quad\bigl(\text{equivalente a }5\pi/3\bigr).

Passo 4

A forma polar de z vem de
z = |z|\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr) = \cos\Bigl(-\frac{\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{3}\Bigr),
ou em forma exponencial
z = e^{\,i(-\pi/3)} = e^{-i\pi/3}.

Passo 5

Graficamente, z é o ponto de coordenadas \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) no plano complexo, ou seja, um vetor de módulo 1 que faz ângulo de -60^\circ (ou -\pi/3 radianos) com o eixo real positivo.

Passo 6

Para operar na forma polar, por exemplo, vamos calcular
z^2 = \bigl(e^{-i\pi/3}\bigr)^2 = e^{-2i\pi/3} = \cos\Bigl(-\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\tfrac{2\pi}{3}\Bigr).

Resposta

\displaystyle |z|=1
\displaystyle \arg(z)=-\frac{\pi}{3}
Forma polar:
z = \cos\Bigl(-\frac{\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{3}\Bigr) \quad\text{ou}\quad z = e^{-i\pi/3}.
Gráfico: ponto \bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) no plano, vetor de módulo 1 e ângulo -60^\circ.
Exemplo de operação em forma polar:
z^2 = e^{-2i\pi/3}.

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