Mostre que as retas r_{1}:\left\{\begin{array}{c}y=-2 x+1 \\\ z=4 x\end{array}\right. e r_{2}:\left\{\begin{array}{c}x=3-2 t \\\ y=4+t \\\ z=t\end{array}\right. são ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede para mostrar que são ortogonais. As informações fornecidas são:
Reta r_{1}\) dada por
\[\begin{cases} y = -2x + 1,\\[4pt] z = 4x, \end{cases}
onde a variável livre é x\].
- Reta \[r_{2} dada por
\begin{cases} x = 3 - 2t,\\[4pt] y = 4 + t,\\[4pt] z = t, \end{cases}
onde (t] é o parâmetro.
O que devemos provar: que as retas r_{1} e r_{2} são ortogonais.]
Passo 2
Vamos escrever cada reta na forma ponto + parâmetro·vetor diretor. Isso facilita extrair o vetor diretor de cada reta, que é o que nos interessa para verificar ortogonalidade.
Para r_{1} tomamos o parâmetro s=x. Assim um ponto genérico é
(x,y,z)=(s,\,-2s+1,\,4s).
Escolhendo s=0 obtemos um ponto da reta r_{1}:
P_1=(0,\,1,\,0).
O coeficiente de s fornece o vetor diretor de r_{1}:
\vec{v}_1=(1,\,-2,\,4).
Logo a forma vetorial de r_{1} é
\vec{r}_1=\bigl(0,1,0\bigr)+s\bigl(1,-2,4\bigr).
Para r_{2} a própria parametrização já dá um ponto (quando t=0) e o vetor diretor:
P_2=(3,\,4,\,0),\qquad \vec{v}_2=(-2,\,1,\,1),
e a forma vetorial é
\vec{r}_2=(3,4,0)+t(-2,1,1).
Passo 3
Agora vamos usar a ferramenta que decide se dois vetores são ortogonais: o produto escalar. Explico isso passo a passo:
Para dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3), o produto escalar é definido por
\vec{u}\cdot\vec{w}=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3.
Uma propriedade útil: dois vetores são perpendiculares (ortogonais) se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero.
Aplicando isso aos vetores diretores que encontramos:
Como o produto escalar é zero, concluímos que os vetores diretores são perpendiculares: \vec{v}_1\perp\vec{v}_2.
Passo 5
Para ser rigoroso: em geometria espacial, dizer que duas retas são ortogonais costuma significar que elas se intersectam formando ângulo de 90^\circ\). Se quisermos verificar se as retas se intersectam, resolvemos o sistema
\[\begin{cases} s = 3 - 2t,\\[4pt] -2s + 1 = 4 + t,\\[4pt] 4s = t. \end{cases}
Da terceira equação obtemos t=4s\]. Substituindo na primeira:
\[s = 3 - 2(4s) \;\Rightarrow\; s = 3 - 8s \;\Rightarrow\; 9s = 3 \;\Rightarrow\; s = \tfrac{1}{3},\]
portanto \(t = 4s = \tfrac{4}{3}. Usando esses valores na segunda equação:
que são diferentes. Logo o sistema é incompatível e as retas não se intersectam (são geométrica e algebraicamente “skew” — não coplanares e não se encontram).
Portanto as retas não se cortam, mas seus vetores diretores são perpendiculares. Dependendo da definição adotada, pode-se dizer:
se exigir interseção para chamar duas retas de ortogonais, então elas não são ortogonais porque não se intersectam;
se aceitar que retas espaciais com vetores diretores perpendiculares sejam chamadas de ortogonais (mesmo sendo skew), então elas são ortogonais.
A forma mais direta e usual em exercícios deste tipo é apontar que os vetores diretores são perpendiculares, o que já mostra a relação de ortogonalidade entre as direções das retas.]
Resposta
As retas têm vetores diretores \vec{v}_1=(1,-2,4) e \vec{v}_2=(-2,1,1) e \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=1\cdot(-2)+(-2)\cdot1+4\cdot1=0, portanto as direções são perpendiculares (os vetores diretores são ortogonais).