Considere a superfície quádrica de equação
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=0 .
Identifique os tipos de curvas obtidas pela interseção da superfície com os planos {x=0},{y=3} e {z=1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de equação
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=0
e pede que identifiquemos o tipo de curva obtida ao intersectar essa superfície com cada um dos planos: x=0, y=3 e z=1.
Informações relevantes que temos (tiradas diretamente do enunciado):
  • A equação da superfície é \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{z^{2}}{16}=0.
  • Precisamos analisar três interseções:
    1. com o plano x=0,
    2. com o plano y=3,
    3. com o plano z=1.
O que exatamente é pedido: para cada um desses planos, determinar o tipo da curva encontrada (por exemplo: par de retas, hipérbole, elipse, círculo, etc.) e, quando útil, escrever sua equação na coordenada do plano.

Passo 2

Interseção com o plano x=0.
Substitui-se x=0 na equação da superfície:
\frac{0^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=0
que simplifica para
\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=0.
Esta equação pode ser fatorada como uma diferença de quadrados. Escrevendo \dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{z^{2}}{16}=\left(\dfrac{y}{3}\right)^{2}-\left(\dfrac{z}{4}\right)^{2}, tem-se
\left(\frac{y}{3}-\frac{z}{4}\right)\left(\frac{y}{3}+\frac{z}{4}\right)=0.
Logo os pontos da interseção satisfazem
\frac{y}{3}-\frac{z}{4}=0\quad\text{ou}\quad\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=0,
isto é,
y=\frac{3}{4}z\quad\text{ou}\quad y=-\frac{3}{4}z.
Interpretação geométrica: no plano x=0 (o plano yz), a curva de interseção é um par de retas que se cruzam na origem. Em termos de cônicas, é uma cônica degenerada formada por duas retas concorrentes.

Passo 3

Interseção com o plano y=3.
Substitui-se y=3 na equação:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{3^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=0.
Calculando \dfrac{3^{2}}{9}=1, obtemos
\frac{x^{2}}{4}+1-\frac{z^{2}}{16}=0.
Rearranjando os termos:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{16}=-1.
Multiplicando por -1 dá a forma padrão
\frac{z^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1.
Esta é a equação standard de uma hipérbole na coordenada local do plano y=3: tem sinal positivo no termo com z^{2} e sinal negativo no termo com x^{2}, e o lado direito é 1, portanto é uma hipérbole não degenerada. A hipérbole tem seu eixo transverso paralelo ao eixo z (naquele plano).

Passo 4

Interseção com o plano z=1.
Substitui-se z=1 na equação:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{1^{2}}{16}=0.
Logo
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=\frac{1}{16}.
Para pôr na forma padrão de elipse, divide-se ambos os lados por \tfrac{1}{16} (ou reescreve-se como razões):
\frac{x^{2}}{4\cdot\frac{1}{16}}+\frac{y^{2}}{9\cdot\frac{1}{16}}=1.
Calculando os denominadores: 4\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{4} e 9\cdot\frac{1}{16}=\frac{9}{16}. Assim
\frac{x^{2}}{\tfrac{1}{4}}+\frac{y^{2}}{\tfrac{9}{16}}=1,
ou seja
\frac{x^{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}}=1.
Interpretação geométrica: no plano z=1 a interseção é uma elipse centrada em (0,0,1) com semi-eixo em x de comprimento a=\tfrac{1}{2} e semi-eixo em y de comprimento b=\tfrac{3}{4}.

Passo 5

Comentário rápido para lembrar o porquê: a superfície original satisfaz \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=\dfrac{z^{2}}{16}, ou seja, é um cone duplo ao longo do eixo z. As interseções com planos geram, conforme a posição do plano, seções cônicas distintas: se o plano passa pela ponta do cone (por exemplo x=0 passa pelo vértice), pode ocorrer degeneração em duas retas; se o plano corta ambas as nappes de forma adequada obtém-se hipérbole; se corta apenas uma nappa numa altura fixa obtém-se elipse.

Resposta

Para x=0: par de retas no plano x=0, dadas por y=\pm \dfrac{3}{4}z.
Para y=3: hipérbole, com equação \dfrac{z^{2}}{16}-\dfrac{x^{2}}{4}=1 no plano y=3.
Para z=1: elipse, com equação \dfrac{x^{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}+\dfrac{y^{2}}{\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}}=1 no plano z=1.

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