Considere a superfície quádrica de equação
Identifique os tipos de curvas obtidas pela interseção da superfície com os planos
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de equação
e pede que identifiquemos o tipo de curva obtida ao intersectar essa superfície com cada um dos planos:
,
e
.
Informações relevantes que temos (tiradas diretamente do enunciado):
- A equação da superfície é
. - Precisamos analisar três interseções:
- com o plano
, - com o plano
, - com o plano
.
- com o plano
O que exatamente é pedido: para cada um desses planos, determinar o tipo da curva encontrada (por exemplo: par de retas, hipérbole, elipse, círculo, etc.) e, quando útil, escrever sua equação na coordenada do plano.
Passo 2
Interseção com o plano
.
Substitui-se
na equação da superfície:
que simplifica para
Esta equação pode ser fatorada como uma diferença de quadrados. Escrevendo
, tem-se
Logo os pontos da interseção satisfazem
isto é,
Interpretação geométrica: no plano
(o plano
), a curva de interseção é um par de retas que se cruzam na origem. Em termos de cônicas, é uma cônica degenerada formada por duas retas concorrentes.
Passo 3
Interseção com o plano
.
Substitui-se
na equação:
Calculando
, obtemos
Rearranjando os termos:
Multiplicando por
dá a forma padrão
Esta é a equação standard de uma hipérbole na coordenada local do plano
: tem sinal positivo no termo com
e sinal negativo no termo com
, e o lado direito é
, portanto é uma hipérbole não degenerada. A hipérbole tem seu eixo transverso paralelo ao eixo
(naquele plano).
Passo 4
Interseção com o plano
.
Substitui-se
na equação:
Logo
Para pôr na forma padrão de elipse, divide-se ambos os lados por
(ou reescreve-se como razões):
Calculando os denominadores:
e
. Assim
ou seja
Interpretação geométrica: no plano
a interseção é uma elipse centrada em
com semi-eixo em
de comprimento
e semi-eixo em
de comprimento
.
Passo 5
Comentário rápido para lembrar o porquê: a superfície original satisfaz
, ou seja, é um cone duplo ao longo do eixo
. As interseções com planos geram, conforme a posição do plano, seções cônicas distintas: se o plano passa pela ponta do cone (por exemplo
passa pelo vértice), pode ocorrer degeneração em duas retas; se o plano corta ambas as nappes de forma adequada obtém-se hipérbole; se corta apenas uma nappa numa altura fixa obtém-se elipse.
Resposta
Para
: par de retas no plano
, dadas por
.
Para
: hipérbole, com equação
no plano
.
Para
: elipse, com equação
no plano
.