Verificar se as retas r_{1} e r_{2} são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de intersecção: r_{1}:\left\{\begin{array}{c}y=-x+2 \\\ z=2 x-5\end{array}\right. e r_{2}: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{-6}=\frac{z}{4}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
Pede: verificar se as retas r_{1}\) e \(r_{2}\) são concorrentes (ou seja, se têm um ponto em comum) e, se sim, determinar esse ponto de intersecção.
- Dados:
- \(r_{1}:\begin{cases}y=-x+2\\[4pt] z=2x-5\end{cases}.
Explicação curta: representar cada reta por um parâmetro significa escrever as três coordenadas como funções de um único número; para que exista interseção é preciso achar t e s tais que as três coordenadas coincidam ao mesmo tempo.]
Passo 3
Escrever o sistema que garante um ponto comum: igualar as coordenadas das duas parametrizações.
Queremos t=-2+2s, -t+2=1-6s e 2t-5=4s. Escrevemos o sistema explicitamente:
Verificar se esses t e s satisfazem também a terceira equação (precisamos que as três coincidam).
Calcular o lado esquerdo da terceira equação com t=-\tfrac{7}{2}:2t-5 = 2\left(-\tfrac{7}{2}\right)-5 = -7 - 5 = -12.
Calcular o lado direito com s=-\tfrac{3}{4}:4s = 4\left(-\tfrac{3}{4}\right) = -3.
Como -12 \neq -3, a terceira equação NÃO é satisfeita pelos valores encontrados: o sistema é inconsistente. Logo não existe t e s que façam as três coordenadas coincidir simultaneamente.
Observação útil: as retas não são paralelas nem coincidentes (verificação rápida das direções):
Direção de r_{1}: d_{1}=(1,-1,2).
Direção de r_{2}: d_{2}=(2,-6,4).
Se fossem paralelas, os vetores seriam múltiplos um do outro; porém
os quocientes não são todos iguais, portanto não são paralelas. Conclusão: são retas não paralelas que não se intersectam — ou seja, retas “esca-ladas” (em geral chamadas de retas reversas ou “skew lines” em inglês).