Verificar se as retas r_{1} e r_{2} são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de intersecção:
r_{1}:\left\{\begin{array}{c}y=-x+2 \\\ z=2 x-5\end{array}\right. e r_{2}: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{-6}=\frac{z}{4}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: verificar se as retas r_{1}\) e \(r_{2}\) são concorrentes (ou seja, se têm um ponto em comum) e, se sim, determinar esse ponto de intersecção. - Dados: - \(r_{1}:\begin{cases}y=-x+2\\[4pt] z=2x-5\end{cases}.
    • r_{2}: \dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-1}{-6}=\dfrac{z}{4}.]

Passo 2

Transformar cada reta em forma paramétrica (isso facilita igualar coordenadas e procurar um ponto comum).
  • Para r_{1}\) escolhemos parâmetro \(t\) para a coordenada \(x\). Assim: \[\begin{cases} x=t,\\[4pt] y=-t+2,\\[4pt] z=2t-5. \end{cases}
    Em forma vetorial isso é (x,y,z)=(t,\,-t+2,\,2t-5)\]. Aqui \[t varia em todos os reais e cada valor de t dá um ponto de r_{1}.
  • Para r_{2} chamamos o parâmetro comum de s, isto é, \dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-1}{-6}=\dfrac{z}{4}=s. Daí:
    \begin{cases} x=-2+2s,\\[4pt] y=1-6s,\\[4pt] z=4s. \end{cases}
    Em forma vetorial: ((x,y,z)=(-2+2s,,1-6s,,4s)].
Explicação curta: representar cada reta por um parâmetro significa escrever as três coordenadas como funções de um único número; para que exista interseção é preciso achar t e s tais que as três coordenadas coincidam ao mesmo tempo.]

Passo 3

Escrever o sistema que garante um ponto comum: igualar as coordenadas das duas parametrizações.
Queremos t=-2+2s, -t+2=1-6s e 2t-5=4s. Escrevemos o sistema explicitamente:
\begin{cases} t = -2 + 2s,\\[4pt] -\,t + 2 = 1 - 6s,\\[4pt] 2t - 5 = 4s. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema usando substituição (passo a passo, sem pular etapas).
  • Da primeira equação temos \displaystyle t=-2+2s. Substituímos isso na segunda:
    -(-2+2s)+2 = 1 - 6s.
    Calculemos o lado esquerdo com calma:
    -(-2+2s)+2 = 2 - 2s + 2 = 4 - 2s.
    Então obtemos
    4 - 2s = 1 - 6s.
    Isolando s:
    4-1 = -6s + 2s \quad\Rightarrow\quad 3 = -4s \quad\Rightarrow\quad s = -\tfrac{3}{4}.
  • Agora calculamos t usando \displaystyle t=-2+2s:
    t = -2 + 2\left(-\tfrac{3}{4}\right) = -2 - \tfrac{3}{2} = -\tfrac{7}{2}.

Passo 5

Verificar se esses t e s satisfazem também a terceira equação (precisamos que as três coincidam).
  • Calcular o lado esquerdo da terceira equação com t=-\tfrac{7}{2}: 2t-5 = 2\left(-\tfrac{7}{2}\right)-5 = -7 - 5 = -12.
  • Calcular o lado direito com s=-\tfrac{3}{4}: 4s = 4\left(-\tfrac{3}{4}\right) = -3.
Como -12 \neq -3, a terceira equação NÃO é satisfeita pelos valores encontrados: o sistema é inconsistente. Logo não existe t e s que façam as três coordenadas coincidir simultaneamente.
Observação útil: as retas não são paralelas nem coincidentes (verificação rápida das direções):
  • Direção de r_{1}: d_{1}=(1,-1,2).
  • Direção de r_{2}: d_{2}=(2,-6,4).
    Se fossem paralelas, os vetores seriam múltiplos um do outro; porém
\frac{2}{1}=2,\quad \frac{-6}{-1}=6,\quad \frac{4}{2}=2,
os quocientes não são todos iguais, portanto não são paralelas. Conclusão: são retas não paralelas que não se intersectam — ou seja, retas “esca-ladas” (em geral chamadas de retas reversas ou “skew lines” em inglês).

Resposta

Não; as retas não são concorrentes.

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