Prove que a operação de multiplicação é distributiva em relação à adição de números naturais, isto é, que (m+n) \cdot p=m \cdot p+n \cdot p e que m \cdot(n+p)=m \cdot n+m \cdot p para todo m, n, p \in \mathbb{N}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos explicitamente:
  • Pede para provar duas igualdades envolvendo m,n,p\in\mathbb{N}:
    1. (m+n)\cdot p = m\cdot p + n\cdot p.
    2. m\cdot(n+p) = m\cdot n + m\cdot p.
  • Informação usada (definições e propriedades básicas que vamos empregar):
    • Definição recursiva da multiplicação por um natural (forma usual): para todo a,b\in\mathbb{N}, a\cdot 0 = 0, \qquad a\cdot (b+1) = a\cdot b + a.Ou seja, multiplicar por o sucessor acrescenta uma cópia de a.
    • Propriedades da adição que usaremos: associatividade e comutatividade da adição, e que x+0=x para todo x\in\mathbb{N}.
    • Princípio da indução matemática: para provar uma propriedade P(p) para todo p\in\mathbb{N} basta provar P(0) e que P(p)\Rightarrow P(p+1).

Passo 2

Estratégia de prova (resumida e explicada de forma didática):
  • Para provar a igualdade (m+n)\cdot p = m\cdot p + n\cdot p vamos usar indução sobre p. Isso funciona bem porque a definição recursiva da multiplicação é precisamente em relação ao segundo fator (ao sucessor de p): multiplicar por p+1 expressa-se em termos de multiplicar por p mais um acréscimo.
  • Para a outra igualdade m\cdot(n+p)=m\cdot n+m\cdot p também usaremos indução em p (outra escolha possível seria induzir em n, mas induzir em p é simétrico e direto).
  • Ao longo dos passos vamos justificar cada transição usando a definição da multiplicação e as propriedades elementares da adição (associatividade/comutatividade) — essas são ferramentas que estão autorizadas como já conhecidas ou previamente demonstradas em teoria básica dos naturais.

Passo 3

Base da indução para a primeira igualdade (m+n)\cdot p = m\cdot p + n\cdot p: caso p=0.
  • Pela definição da multiplicação, (m+n)\cdot 0 = 0.
  • Também pela definição, m\cdot 0 = 0,\qquad n\cdot 0 = 0,logo m\cdot 0 + n\cdot 0 = 0 + 0 = 0.
  • Portanto (m+n)\cdot 0 = m\cdot 0 + n\cdot 0,isto é, a igualdade é verdadeira para p=0.

Passo 4

Passo indutivo para a primeira igualdade: suponha que a propriedade seja verdadeira para um p arbitrário; isto é, suponha a hipótese indutiva
(m+n)\cdot p = m\cdot p + n\cdot p.
Queremos provar que vale para p+1, ou seja,
(m+n)\cdot (p+1) = m\cdot (p+1) + n\cdot (p+1).

Passo 5

Desenvolvendo o lado esquerdo usando a definição da multiplicação:
  • Pela definição recursiva, (m+n)\cdot (p+1) = (m+n)\cdot p + (m+n).
  • Aplicando a hipótese indutiva ao termo (m+n)\cdot p, obtemos (m+n)\cdot (p+1) = \big(m\cdot p + n\cdot p\big) + (m+n).

Passo 6

Manipulação cuidadosa do somatório usando associatividade e comutatividade da adição:
  • Expandir o somatório e reagrupar: \big(m\cdot p + n\cdot p\big) + (m+n) = \big(m\cdot p + m\big) + \big(n\cdot p + n\big).Aqui foi usado que a soma de quatro termos pode ser reescrita agrupando-se as parcelas correspondentes a m e a n; isso é permitido por associatividade e comutatividade da adição (pode-se trocar ordens e agrupar como conveniente).
  • Agora, reconhecer cada par como uma definição da multiplicação pelo sucessor: m\cdot p + m = m\cdot (p+1), \qquad n\cdot p + n = n\cdot (p+1),pela regra a\cdot (b+1)=a\cdot b + a aplicada com a=m e a=n.
  • Portanto (m+n)\cdot (p+1) = m\cdot (p+1) + n\cdot (p+1).

Passo 7

Conclusão da primeira parte: Como a igualdade vale para p=0 (Passo 3) e, supondo que vale para p, então vale para p+1 (Passos 4–6), pelo princípio da indução concluímos que para todo p\in\mathbb{N} se tem
(m+n)\cdot p = m\cdot p + n\cdot p.
Isto prova a distributividade da multiplicação à direita sobre a adição (isto é, multiplicar por p distribuído sobre m+n).

Passo 8

Agora provamos a segunda igualdade m\cdot(n+p)=m\cdot n+m\cdot p. Novamente usaremos indução em p.
Base p=0:
  • Pela definição, m\cdot(n+0)=m\cdot n.
  • E m\cdot n + m\cdot 0 = m\cdot n + 0 = m\cdot n.
  • Logo a igualdade é verdadeira para p=0.

Passo 9

Passo indutivo para a segunda igualdade: suponha a hipótese indutiva
m\cdot(n+p) = m\cdot n + m\cdot p
para um p arbitrário. Queremos mostrar que vale para p+1:
m\cdot(n+(p+1)) = m\cdot n + m\cdot (p+1).

Passo 10

Desenvolvimento usando a definição e a hipótese:
  • Primeiro note que n+(p+1)=(n+p)+1, então aplicando a definição da multiplicação em relação ao segundo fator, m\cdot(n+(p+1)) = m\cdot\big((n+p)+1\big) = m\cdot(n+p) + m.
  • Pela hipótese indutiva, m\cdot(n+p) = m\cdot n + m\cdot p. Substituindo: m\cdot(n+(p+1)) = \big(m\cdot n + m\cdot p\big) + m.
  • Usando associatividade/comutatividade da adição, reagrupamos: \big(m\cdot n + m\cdot p\big) + m = m\cdot n + \big(m\cdot p + m\big).
  • Pela definição da multiplicação, m\cdot p + m = m\cdot (p+1).Portanto m\cdot(n+(p+1)) = m\cdot n + m\cdot (p+1).

Passo 11

Conclusão da segunda parte: Como a igualdade vale para p=0 e provamos o passo indutivo, pelo princípio da indução segue que para todo p\in\mathbb{N}
m\cdot(n+p) = m\cdot n + m\cdot p.
Isto prova a distributividade da multiplicação à esquerda sobre a adição (isto é, multiplicar m pelo somatório n+p distribui).

Resposta

(m+n)\cdot p = m\cdot p + n\cdot p
m\cdot(n+p) = m\cdot n + m\cdot p

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