Prove que a operação de multiplicação é distributiva em relação à adição de números naturais, isto é, que
e que
para todo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos explicitamente:
- Pede para provar duas igualdades envolvendo
: -
. -
.
-
- Informação usada (definições e propriedades básicas que vamos empregar):
- Definição recursiva da multiplicação por um natural (forma usual): para todo
, Ou seja, multiplicar por o sucessor acrescenta uma cópia de . - Propriedades da adição que usaremos: associatividade e comutatividade da adição, e que
para todo . - Princípio da indução matemática: para provar uma propriedade
para todo basta provar e que .
- Definição recursiva da multiplicação por um natural (forma usual): para todo
Passo 2
Estratégia de prova (resumida e explicada de forma didática):
- Para provar a igualdade
vamos usar indução sobre . Isso funciona bem porque a definição recursiva da multiplicação é precisamente em relação ao segundo fator (ao sucessor de ): multiplicar por expressa-se em termos de multiplicar por mais um acréscimo. - Para a outra igualdade
também usaremos indução em (outra escolha possível seria induzir em , mas induzir em é simétrico e direto). - Ao longo dos passos vamos justificar cada transição usando a definição da multiplicação e as propriedades elementares da adição (associatividade/comutatividade) — essas são ferramentas que estão autorizadas como já conhecidas ou previamente demonstradas em teoria básica dos naturais.
Passo 3
Base da indução para a primeira igualdade
: caso
.
- Pela definição da multiplicação,
- Também pela definição,
logo - Portanto
isto é, a igualdade é verdadeira para .
Passo 4
Passo indutivo para a primeira igualdade: suponha que a propriedade seja verdadeira para um
arbitrário; isto é, suponha a hipótese indutiva
Queremos provar que vale para
, ou seja,
Passo 5
Desenvolvendo o lado esquerdo usando a definição da multiplicação:
- Pela definição recursiva,
- Aplicando a hipótese indutiva ao termo
, obtemos
Passo 6
Manipulação cuidadosa do somatório usando associatividade e comutatividade da adição:
- Expandir o somatório e reagrupar:
Aqui foi usado que a soma de quatro termos pode ser reescrita agrupando-se as parcelas correspondentes a e a ; isso é permitido por associatividade e comutatividade da adição (pode-se trocar ordens e agrupar como conveniente). - Agora, reconhecer cada par como uma definição da multiplicação pelo sucessor:
pela regra aplicada com e . - Portanto
Passo 7
Conclusão da primeira parte: Como a igualdade vale para
(Passo 3) e, supondo que vale para
, então vale para
(Passos 4–6), pelo princípio da indução concluímos que para todo
se tem
Isto prova a distributividade da multiplicação à direita sobre a adição (isto é, multiplicar por
distribuído sobre
).
Passo 8
Agora provamos a segunda igualdade
. Novamente usaremos indução em
.
Base :
Base
- Pela definição,
- E
- Logo a igualdade é verdadeira para
.
Passo 9
Passo indutivo para a segunda igualdade: suponha a hipótese indutiva
para um
arbitrário. Queremos mostrar que vale para
:
Passo 10
Desenvolvimento usando a definição e a hipótese:
- Primeiro note que
, então aplicando a definição da multiplicação em relação ao segundo fator, - Pela hipótese indutiva,
. Substituindo: - Usando associatividade/comutatividade da adição, reagrupamos:
- Pela definição da multiplicação,
Portanto
Passo 11
Conclusão da segunda parte: Como a igualdade vale para
e provamos o passo indutivo, pelo princípio da indução segue que para todo
Isto prova a distributividade da multiplicação à esquerda sobre a adição (isto é, multiplicar
pelo somatório
distribui).