Prove que o conjunto
não possui elemento máximo.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para provar que esse conjunto não possui elemento máximo.
O que é pedido, em termos claros:
- Mostrar que não existe
tal que, para todo , valha .
Informações relevantes dadas:
- Os elementos de
são todos os múltiplos de obtidos a partir de naturais : (se ) ou (se ). - Uma propriedade básica dos números naturais que usaremos: se
então e .
Passo 2
Explicar a estratégia escolhida (sem fazer ainda a prova): a ideia é pegar um candidato arbitrário a máximo, escrever esse candidato como
(porque todo elemento de
tem essa forma) e construir de forma explícita outro elemento de
que seja maior. Essa construção usa apenas a operação
nos naturais e a propriedade de que multiplicar desigualdades por
preserva a desigualdade. Essa é uma prova direta e construtiva, simples de aplicar numa prova de prova.
Passo 3
Primeiro passo técnico: mostrar que, para qualquer
, o número
pertence a
.
Justificativa: se então
(fecho dos naturais pelo sucessor). Como
com
, segue que
.
Justificativa: se
Passo 4
Agora a parte essencial: tomar um elemento arbitrário
. Como
, existe
tal que
. Considere o número
. Pelas observações do passo anterior,
. Além disso,
Como
, temos
. Portanto
.
Passo 5
Interpretação do resultado do passo anterior: mostramos que para qualquer
existe um outro elemento
que é estritamente maior que
. Isso significa que nenhum
pode ser máximo, porque sempre há um elemento do conjunto maior do que ele. Logo, o conjunto
não possui elemento máximo.
Resposta
O conjunto
não possui elemento máximo.