Prove que o conjunto 3 \mathbb{N}=\{3 n: n \in \mathbb{N}\} não possui elemento máximo.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \,3\mathbb{N}=\{3n:\;n\in\mathbb{N}\}\, e pede para provar que esse conjunto não possui elemento máximo.
O que é pedido, em termos claros:
  • Mostrar que não existe M\in 3\mathbb{N} tal que, para todo x\in 3\mathbb{N}, valha x\le M.
Informações relevantes dadas:
  • Os elementos de 3\mathbb{N} são todos os múltiplos de \,3 obtidos a partir de naturais n: \,0,3,6,9,\dots (se \,0\in\mathbb{N}) ou \,3,6,9,\dots (se \,0\notin\mathbb{N}).
  • Uma propriedade básica dos números naturais que usaremos: se n\in\mathbb{N} então n+1\in\mathbb{N} e n+1>n.

Passo 2

Explicar a estratégia escolhida (sem fazer ainda a prova): a ideia é pegar um candidato arbitrário a máximo, escrever esse candidato como 3n (porque todo elemento de 3\mathbb{N} tem essa forma) e construir de forma explícita outro elemento de 3\mathbb{N} que seja maior. Essa construção usa apenas a operação n\mapsto n+1 nos naturais e a propriedade de que multiplicar desigualdades por 3>0 preserva a desigualdade. Essa é uma prova direta e construtiva, simples de aplicar numa prova de prova.

Passo 3

Primeiro passo técnico: mostrar que, para qualquer n\in\mathbb{N}, o número 3(n+1) pertence a 3\mathbb{N}.
Justificativa: se n\in\mathbb{N} então n+1\in\mathbb{N} (fecho dos naturais pelo sucessor). Como 3(n+1)=3\cdot m com m=n+1\in\mathbb{N}, segue que 3(n+1)\in 3\mathbb{N}.

Passo 4

Agora a parte essencial: tomar um elemento arbitrário M\in 3\mathbb{N}. Como M\in 3\mathbb{N}, existe k\in\mathbb{N} tal que M=3k. Considere o número 3(k+1). Pelas observações do passo anterior, 3(k+1)\in 3\mathbb{N}. Além disso,
3(k+1)=3k+3=M+3.
Como 3>0, temos M+3>M. Portanto 3(k+1)>M.

Passo 5

Interpretação do resultado do passo anterior: mostramos que para qualquer M\in 3\mathbb{N} existe um outro elemento 3(k+1)\in 3\mathbb{N} que é estritamente maior que M. Isso significa que nenhum M\in 3\mathbb{N} pode ser máximo, porque sempre há um elemento do conjunto maior do que ele. Logo, o conjunto 3\mathbb{N} não possui elemento máximo.

Resposta

O conjunto 3\mathbb{N} não possui elemento máximo.

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