Mostre que
e
são ambas soluções de
As funções
e
, com
e
constantes arbitrárias, são também soluções? A soma
é uma solução?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e duas funções:
- Equação diferencial:
. - Funções:
e .
As perguntas são:
- Verificar se
e são soluções da equação (isto é, se, ao substituí-las na equação, o resultado é a função identicamente zero). - As funções
e (com constantes arbitrárias) são soluções? - A soma
é solução?
Passo 2
Regra prática para verificar se uma função
é solução: definir o operador linear
calcular
e ver se
(função zero para todo
). Observação importante (teoria usada):
é linear, ou seja, para quaisquer constantes
e funções
,
Isso será usado depois para falar sobre multiplicar por constantes e somas.
Passo 3
Verificação para
.
Calcular derivadas:
Substituir em
:
Agora simplificar passo a passo:
logo
Conclusão:
, que não é a função zero (varia com
). Portanto
NÃO é solução da equação diferencial.
Passo 4
Verificação para
.
Calcular derivadas:
Substituir em
:
Simplificar passo a passo:
logo
Conclusão:
, que também não é a função zero. Portanto
NÃO é solução da equação diferencial.
Passo 5
Agora responder sobre as funções
e
.
Usando linearidade do operador
:
Para que
seja solução precisamos de
. Mas
só é a função zero para todo
se
Analogamente,
só é identicamente zero se
. Portanto, em geral (isto é, para constantes arbitrárias não nulas)
e
NÃO são soluções; a única exceção é a escolha trivial
ou
, que dá a solução trivial
.
Passo 6
E a soma
?
Pela linearidade,
Já calculamos
e
. Somando:
Essa expressão não é a função zero (depende de
), logo
também NÃO é solução da equação diferencial. Observação: em geral a soma de duas soluções de uma equação linear homogênea é solução — mas isso só vale se as funções somadas forem de fato soluções; aqui como
e
não são soluções, a soma não precisa ser solução.
Resposta
As funções
A soma