Mostre que y_{1}=2 x+2 e y_{2}=-x^{2} / 2 são ambas soluções de
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+6 y=0
As funções c_{1} y_{1} e c_{2} y_{2}, com c_{1} e c_{2} constantes arbitrárias, são também soluções? A soma y_{1}+y_{2} é uma solução?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e duas funções:
  • Equação diferencial: y''+4y'+6y=0.
  • Funções: y_{1}=2x+2 e y_{2}=-\dfrac{x^{2}}{2}.
As perguntas são:
  1. Verificar se y_{1} e y_{2} são soluções da equação (isto é, se, ao substituí-las na equação, o resultado é a função identicamente zero).
  2. As funções c_{1}y_{1} e c_{2}y_{2} (com c_{1},c_{2} constantes arbitrárias) são soluções?
  3. A soma y_{1}+y_{2} é solução?

Passo 2

Regra prática para verificar se uma função y é solução: definir o operador linear
L[y]=y''+4y'+6y,
calcular L[y] e ver se L[y]\equiv0 (função zero para todo x). Observação importante (teoria usada): L é linear, ou seja, para quaisquer constantes a,b e funções u,v,
L[au+bv]=aL[u]+bL[v].
Isso será usado depois para falar sobre multiplicar por constantes e somas.

Passo 3

Verificação para y_{1}=2x+2.
Calcular derivadas:
y_{1}'=2,\qquad y_{1}''=0.
Substituir em L[y]:
L[y_{1}]=y_{1}''+4y_{1}'+6y_{1}=0+4\cdot 2+6(2x+2).
Agora simplificar passo a passo:
4\cdot 2 = 8, \qquad 6(2x+2)=12x+12,
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L[y_{1}]=8+(12x+12)=12x+20.
Conclusão: L[y_{1}]=12x+20, que não é a função zero (varia com x). Portanto y_{1} NÃO é solução da equação diferencial.

Passo 4

Verificação para y_{2}=-\dfrac{x^{2}}{2}.
Calcular derivadas:
y_{2}'=-x,\qquad y_{2}''=-1.
Substituir em L[y]:
L[y_{2}]=y_{2}''+4y_{2}'+6y_{2}=-1+4(-x)+6\Big(-\dfrac{x^{2}}{2}\Big).
Simplificar passo a passo:
4(-x)=-4x, \qquad 6\Big(-\dfrac{x^{2}}{2}\Big)=-3x^{2},
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L[y_{2}]=-1-4x-3x^{2}=-(3x^{2}+4x+1).
Conclusão: L[y_{2}]=-(3x^{2}+4x+1), que também não é a função zero. Portanto y_{2} NÃO é solução da equação diferencial.

Passo 5

Agora responder sobre as funções c_{1}y_{1} e c_{2}y_{2}.
Usando linearidade do operador L:
L[c_{1}y_{1}]=c_{1}L[y_{1}]=c_{1}(12x+20), \qquad L[c_{2}y_{2}]=c_{2}L[y_{2}]=c_{2}\big(-(3x^{2}+4x+1)\big).
Para que c_{1}y_{1} seja solução precisamos de L[c_{1}y_{1}]\equiv0. Mas c_{1}(12x+20) só é a função zero para todo x se c_{1}=0. Analogamente, c_{2}L[y_{2}] só é identicamente zero se c_{2}=0. Portanto, em geral (isto é, para constantes arbitrárias não nulas) c_{1}y_{1} e c_{2}y_{2} NÃO são soluções; a única exceção é a escolha trivial c_{1}=0 ou c_{2}=0, que dá a solução trivial y\equiv0.

Passo 6

E a soma y_{1}+y_{2}?
Pela linearidade,
L[y_{1}+y_{2}]=L[y_{1}]+L[y_{2}].
Já calculamos L[y_{1}]=12x+20 e L[y_{2}]=-(3x^{2}+4x+1). Somando:
L[y_{1}+y_{2}]=12x+20-(3x^{2}+4x+1)=-3x^{2}+8x+19.
Essa expressão não é a função zero (depende de x), logo y_{1}+y_{2} também NÃO é solução da equação diferencial. Observação: em geral a soma de duas soluções de uma equação linear homogênea é solução — mas isso só vale se as funções somadas forem de fato soluções; aqui como y_{1} e y_{2} não são soluções, a soma não precisa ser solução.

Resposta

y_{1} e y_{2} não são soluções da equação diferencial.
As funções c_{1}y_{1} e c_{2}y_{2} não são soluções em geral; são soluções apenas no caso trivial c_{1}=0 ou c_{2}=0.
A soma y_{1}+y_{2} não é solução.

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