Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações dadas:
- A função considerada é
. - Queremos o valor que
se aproxima quando se aproxima de .
Passo 2
Entendendo o que significa o limite aqui (intuitivamente).
Quando escrevemos estamos perguntando: “quando
fica cada vez mais perto de
, para qual número
fica cada vez mais próximo?” Para funções simples e sem “problemas” no ponto (como descontinuidades, divisões por zero, raízes de índice par com sinal trocado etc.), o valor do limite costuma ser simplesmente o valor da função no ponto. Funções polinomiais e lineares, como
, são desse tipo: não têm quebra nem comportamento estranho em
.
Quando escrevemos
Passo 3
Usando propriedade linear dos limites (mais prática para prova).
Uma propriedade básica de limites é que somas, subtrações e multiplicações por constantes passam para dentro do limite. Em particular:
Uma propriedade básica de limites é que somas, subtrações e multiplicações por constantes passam para dentro do limite. Em particular:
Aqui:
e
porque a função constante vale sempre
. Substituindo:
Passo 4
Fazendo a conta final passo a passo (sem pular etapas):
Calcule :
Calcule
Agora subtraia
:
Portanto o limite é
.
Passo 5
Rigor (opcional, estilo prova epsilon–delta) — para quem gosta de justificativa completa:
Queremos mostrar que . Tome
qualquer. Note que
Queremos mostrar que
Se escolhermos
, então sempre que
teremos
Isso mostra, pela definição formal, que o limite é de fato
.
Passo 6
Recapitulando de forma amigável: por ser uma função linear (continua), podemos simplesmente substituir
na expressão
. A conta dá
. Vai dar tudo certo na prova — confia, você já resolveu o essencial aqui!